Induktionsbevis

Jag antar att det här är någon annans lösning som du undrar över?

För det första tycker jag att bytet från $2^p$ till $p^2$ är lite dåligt motiverat. Induktionsantagandet är att $p^2 \leq 2^p$ för något $p$, inte att $p^2 = 2^p$. Någon motiverande text i stil med "om vi kan visa att $p^2 + 2p + 1 \leq 2p^2$ så följer det att $p^2 + 2p + 1 \leq 2\cdot2^p$, då induktionsantagandet ger $p^2 \leq 2^p$." vore nog bra att lägga till.

$p^2$ kan strykas i båda led då $2*p^2 = p^2 + p^2$, så olikheten är $p^2 + 2p + 1 \leq p^2 + p^2$. Nu är det bara att subtrahera $p^2$ i båda led.

Att $\frac{1}{p}$ byts mot $1$ följer nog ett liknande resonemang som när $2^p$ byttes till $p^2$ (och resonemanget skulle nog även här behöva motiveras med lite förklarande text). Ur uppgiften är det givet att $p \geq 4$, varför $\frac{1}{p} \leq 1$ . Alltså, om $2 + 1 \leq p$ måste också $2 + \frac{1}{p} \leq p$, då $2+1 \leq 2 + \frac{1}{p}$.

Hej!

När du vill bevisa att olikheten $(p+1)^2\leq 2^{p+1}$ gäller så ska du inte (jag repeterar: inte!) utgå från att olikheten gäller!

Det du ska göra är att studera $(p+1)^2$ och använda Induktionsantagandet att $p^2 \leq 2^p$ för att visa att $(p+1)^2\leq 2^{p+1}$

Det gäller ju att $1 \leq 2$ så då följer det att

    $\displaystyle (p+1)^2 = p^2+2p+1 \leq p^2+2p+2 = p^2+2(p+1).$

Induktionsantagandet är att $p^2 \leq 2^p$ så då blir

    $\displaystyle p^2+2(p+1) \leq 2^p + 2(p+1) = 2(2^{p-1}+p+1).$

Sedan är $p+1 \leq 2^{p-1}$ om $p\geq 4$, vilket ger att

    $\displaystyle 2^{p-1}+p+1\leq 2^{p-1}+2^{p-1} = 2^{p},$

så att du har visat att

    $(p+1)^2 \leq 2\cdot 2^{p}$ ,

vilket är vad du skulle göra.

Nej den är skriven i facit! Tack så jätte mycket! Nu förstår jag! 

Okej ska se till att jag studera VL och HL för sig, men jag undrar bara var du får 1 större\lika med 2 från? (n) är ju minst 4?