Induktionsbevis: 2 olika svar.

Hej,

har en fråga från boken som jar har lite svårt att lösa, så min kompis (inte svensk) har löst uppgiften ått mig. Han har inte gjort exakt som faciten i boken säger, så undrar om någon kan kolla om han har gjort rett eller fel.

Tack !

Fråga:
Visa med ett induktionsbevis att $n (n^{2} + 2)$ är delbart med 3.

Facit (bok):

kompis facit:

Din kompis lösning stämmer.

EDIT: jag var inte observant, märkte inte att kompisen bytte k²+2k för k²+2. Samt att han tappade faktorn n redan från början.

Se SvanteRs inlägg nedan.

Om ett tal x är delbart med 8, är det samma sak som att x=8k där k är ett godtyckligt tal eftersom x då måste vara en multipel av 8. Tag exempelvis 27, 27 är delbart med 3 vilket ger att 27=3k, k är här lika med 9.

Din kompis verkar tappa bort en del av uttrycket. Det är ju $n (n^{2} + 2)$ , men din kompis skriver som om det bara vore $n^{2} + 2$ . Sedan byter han ut $k^{2} + 2$ mot $k^{2} + 2 k$ mitt i beviset (annars skulle det inte gå ihop).

Så nej, din kompis gör fel på två ställen.

SvanteR skrev:
Din kompis verkar tappa bort en del av uttrycket. Det är ju $n (n^{2} + 2)$ , men din kompis skriver som om det bara vore $n^{2} + 2$ . Sedan byter han ut $k^{2} + 2$ mot $k^{2} + 2 k$ mitt i beviset (annars skulle det inte gå ihop).

Så nej, din kompis gör fel på två ställen.

ah så det just nu själv också att han använt n^2 + 2 bara.

när det gjäller $k^{2} + 2 b l i r k^{2} + 2 k$

är vel pga han löser ut parantesen ${(k + 1)}^{2} v i l k e t g e r k^{2} + 2 k + 1$ ?

HiMate123 skrev:
SvanteR skrev:
Din kompis verkar tappa bort en del av uttrycket. Det är ju $n (n^{2} + 2)$ , men din kompis skriver som om det bara vore $n^{2} + 2$ . Sedan byter han ut $k^{2} + 2$ mot $k^{2} + 2 k$ mitt i beviset (annars skulle det inte gå ihop).

Så nej, din kompis gör fel på två ställen.

ah så det just nu själv också att han använt n^2 + 2 bara.

när det gjäller $k^{2} + 2 b l i r k^{2} + 2 k$

är vel pga han löser ut parantesen ${(k + 1)}^{2} v i l k e t g e r k^{2} + 2 k + 1$ ?

Ja, men felet kommer i nästa steg. I början av sitt bevis skriver din kompis att k²+2=3M

Men längre ned byter han ut k²+2k mot 3M. Det är det som är felet!

SvanteR skrev:
HiMate123 skrev:
SvanteR skrev:
Din kompis verkar tappa bort en del av uttrycket. Det är ju $n (n^{2} + 2)$ , men din kompis skriver som om det bara vore $n^{2} + 2$ . Sedan byter han ut $k^{2} + 2$ mot $k^{2} + 2 k$ mitt i beviset (annars skulle det inte gå ihop).

Så nej, din kompis gör fel på två ställen.

ah så det just nu själv också att han använt n^2 + 2 bara.

när det gjäller $k^{2} + 2 b l i r k^{2} + 2 k$

är vel pga han löser ut parantesen ${(k + 1)}^{2} v i l k e t g e r k^{2} + 2 k + 1$ ?

Ja, men felet kommer i nästa steg. I början av sitt bevis skriver din kompis att k²+2=3M

Men längre ned byter han ut k²+2k mot 3M. Det är det som är felet!

Vad med den här lösningen?

Nu ser det rätt ut i princip. Men man ska inte skriva "let n=n+1" som i det här beviset. Jag förstår vad som menas, men det är bättre att skriva "suppose Pn is true for n=k" och sedan "let n=k+1" som i det förra beviset.

Svara

Visa senaste svar