Induktionsbevis 2/3

Välkommen till Pluggakuten! Hur har du försökt själv? Börja med att kontrollera att basfallet stämmer. Anta därefter att det är sant för n = k, och använd detta antagande för att bevisa att det är sant för n = k + 1.

Smutstvätt skrev:

Välkommen till Pluggakuten! Hur har du försökt själv? Börja med att kontrollera att basfallet stämmer. Anta därefter att det är sant för n = k, och använd detta antagande för att bevisa att det är sant för n = k + 1.

 Hej, jag har testat med basfallet och det stämmer men jag fastnar vid induktionsantagandet / påståendet 

Vi antar att påståendet är sant för n = k:

$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{k^2}\le 2-\frac{1}{k}$ är sant.

Då undersöker vi vad som händer när n = k + 1. Om påståendet är sant för n = k ska vi nu kunna visa att det även är sant för n = k + 1:

$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{(k+1{)}^2}\le 2-\frac{1}{k+1}$

När du ser sådana här uttryck är den första tanken du bör tänka "Hur kan jag ta mig tillbaka till antagandet?". I detta fallet är kanske det enklaste att försöka få tillbaka vänsterledet som vi hade, så vi flyttar om lite:

$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{k^2}\le 2-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{{\left(k+1\right)}^2}$

När du har olikheter i det påstående du ska bevisa med induktion är det bra att tänka "Kan jag använda olikheten i antagandet till att få bort några termer i induktionssteget?" Eftersom vi antagit att $\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{k^2}\le 2-\frac{1}{k}$ är sant, kan vi subtrahera detta från vårt antagande, utan att ändra olikhetens riktning. Då får vi att: 

$\left(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{k^2}\right)-\left(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{k^2}\right)\le 2-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{{\left(k+1\right)}^2}-\left(2-\frac{1}{k}\right)$

Detta monstruösa uttryck kan förenklas ned till:

$0\le \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{{\left(k+1\right)}^2}$

Klarar du resten själv?

Smutstvätt skrev:

Vi antar att påståendet är sant för n = k:

$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{k^2}\le 2-\frac{1}{k}$ är sant.

Då undersöker vi vad som händer när n = k + 1. Om påståendet är sant för n = k ska vi nu kunna visa att det även är sant för n = k + 1:

$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{(k+1{)}^2}\le 2-\frac{1}{k+1}$

När du ser sådana här uttryck är den första tanken du bör tänka "Hur kan jag ta mig tillbaka till antagandet?". I detta fallet är kanske det enklaste att försöka få tillbaka vänsterledet som vi hade, så vi flyttar om lite:

$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{k^2}\le 2-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{{\left(k+1\right)}^2}$

När du har olikheter i det påstående du ska bevisa med induktion är det bra att tänka "Kan jag använda olikheten i antagandet till att få bort några termer i induktionssteget?" Eftersom vi antagit att $\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{k^2}\le 2-\frac{1}{k}$ är sant, kan vi subtrahera detta från vårt antagande, utan att ändra olikhetens riktning. Då får vi att: 

$\left(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{k^2}\right)-\left(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{k^2}\right)\le 2-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{{\left(k+1\right)}^2}-\left(2-\frac{1}{k}\right)$

Detta monstruösa uttryck kan förenklas ned till:

$0\le \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{{\left(k+1\right)}^2}$

Klarar du resten själv?

 Tack så hemskt mycket för hjälpen! nu förstår jag äntligen :), Har testat fråga 3 igen med dina tips men fastnar fortfarande, kanske för att jag är inte den bästa på trigonometri men om du har tid eller lust skulle du betyda jätte mycket om du skulle kunna hjälpa mig med den också  

Med induktionsantagandets hjälp vill du visa att

    $2-\frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^2} \leq 2-\frac{1}{n+1}.$

Detta är samma sak som att visa att

    $\frac{1}{(n+1)^2} \leq \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$.

Det gäller att $n \leq n+1$ och det betyder att

    $\frac{1}{n(n+1)} \geq \frac{1}{(n+1)(n+1)}$.

Om du skriver differensen ovan på samma nämnare och använder denna enkla olikhet så har du lyckats visa det som söktes.

    $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)} \geq \frac{1}{(n+1)^2}.$

Albiki skrev:

Med induktionsantagandets hjälp vill du visa att

    $2-\frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^2} \leq 2-\frac{1}{n+1}.$

Detta är samma sak som att visa att

    $\frac{1}{(n+1)^2} \leq \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$.

Det gäller att $n \leq n+1$ och det betyder att

    $\frac{1}{n(n+1)} \geq \frac{1}{(n+1)(n+1)}$.

Om du skriver differensen ovan på samma nämnare och använder denna enkla olikhet så har du lyckats visa det som söktes.

    $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)} \geq \frac{1}{(n+1)^2}.$

 Tack!!

Smutstvätt skrev:

Vi antar att påståendet är sant för n = k:

$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{k^2}\le 2-\frac{1}{k}$ är sant.

Då undersöker vi vad som händer när n = k + 1. Om påståendet är sant för n = k ska vi nu kunna visa att det även är sant för n = k + 1:

$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{(k+1{)}^2}\le 2-\frac{1}{k+1}$

När du ser sådana här uttryck är den första tanken du bör tänka "Hur kan jag ta mig tillbaka till antagandet?". I detta fallet är kanske det enklaste att försöka få tillbaka vänsterledet som vi hade, så vi flyttar om lite:

$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{k^2}\le 2-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{{\left(k+1\right)}^2}$

När du har olikheter i det påstående du ska bevisa med induktion är det bra att tänka "Kan jag använda olikheten i antagandet till att få bort några termer i induktionssteget?" Eftersom vi antagit att $\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{k^2}\le 2-\frac{1}{k}$ är sant, kan vi subtrahera detta från vårt antagande, utan att ändra olikhetens riktning. Då får vi att: 

$\left(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{k^2}\right)-\left(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{k^2}\right)\le 2-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{{\left(k+1\right)}^2}-\left(2-\frac{1}{k}\right)$

Detta monstruösa uttryck kan förenklas ned till:

$0\le \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{{\left(k+1\right)}^2}$

Klarar du resten själv?

 Hej igen, skulle du kunna visa hur   $0\le \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{{\left(k+1\right)}^2}$ , trodde jag kunde lösa det men det gick inte så bra :/

Har testat fråga 3 igen med dina tips men fastnar fortfarande, kanske för att jag är inte den bästa på trigonometri men om du har tid eller lust skulle du betyda jätte mycket om du skulle kunna hjälpa mig med den också

Naturlivet, det står i Pluggakutensregler att det är förbjudet med s k fjärrbump,d v s att man tjatar i en tråd om att man skall svara på en annan fråga i en annan tråd. /moderator

Naturlivet skrev:Hej igen, skulle du kunna visa hur   $0\le \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{{\left(k+1\right)}^2}$ , trodde jag kunde lösa det men det gick inte så bra :/

Hur har du försökt? Förläng bråken så att de står på samma nämnare:

$0\le \frac{(k+1{)}^2-k(k+1)-k}{k(k+1{)}^2}$

Vad händer när du förenklar detta? 

Smutstvätt skrev:

Naturlivet skrev:Hej igen, skulle du kunna visa hur   $0\le \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{{\left(k+1\right)}^2}$ , trodde jag kunde lösa det men det gick inte så bra :/

Hur har du försökt? Förläng bråken så att de står på samma nämnare:

$0\le \frac{(k+1{)}^2-k(k+1)-k}{k(k+1{)}^2}$

Vad händer när du förenklar detta? 

 Poängen är ju att visa att kvoten är icke-negativ, så jag förstår inte varför du utgår från att den är det Smutstvätt?

@Naturlivet: Mitt tidigare inlägg i denna tråd visar just den olikhet som du försöker visa. 

Smutstvätt skrev:

Naturlivet skrev:Hej igen, skulle du kunna visa hur   $0\le \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{{\left(k+1\right)}^2}$ , trodde jag kunde lösa det men det gick inte så bra :/

Hur har du försökt? Förläng bråken så att de står på samma nämnare:

$0\le \frac{(k+1{)}^2-k(k+1)-k}{k(k+1{)}^2}$

Vad händer när du förenklar detta? 

 Hej, får det till $0 \le \frac{3}{(p+1){ }^2}$ efter förenkling men hur ska ja veta/visa att det är så?

Naturlivet skrev:

Smutstvätt skrev:

Visa föregående citat

Naturlivet skrev:Hej igen, skulle du kunna visa hur   $0\le \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{{\left(k+1\right)}^2}$ , trodde jag kunde lösa det men det gick inte så bra :/

Hur har du försökt? Förläng bråken så att de står på samma nämnare:

$0\le \frac{(k+1{)}^2-k(k+1)-k}{k(k+1{)}^2}$

Vad händer när du förenklar detta? 

 Hej, får det till $0 \le \frac{3}{(p+1){ }^2}$ efter förenkling men hur ska ja veta/visa att det är så?

 är det för att ett tal/uttryck i kvadrat alltid är positivt? och hur vet jag då isåfall att p inte tex. är -1 och då gör det till icke definierat? 

Jag och Albiki har olika sätt att lösa denna uppgift på. Mitt sätt är lite mer omständigt, men också kanske närmare en klassisk gymnasielösning, medan Albikis sätt är lite snabbare. Jag föreslår att du prövar båda. 

Det blir $\cancel{\frac{1}{{\left(p+1\right)}^2}}$ $\frac{1}{k{\left(k+1\right)}^2}$, men ja. k måste vara ett heltal större än noll enligt uppgiften. Det medför att nämnaren aldrig blir negativ, bråket blir då aldrig negativt, och olikheten alltid är uppfylld. 


Edit: $\frac{1}{k{\left(k+1\right)}^2}$, inget annat. :)

Smutstvätt skrev:

Jag och Albiki har olika sätt att lösa denna uppgift på. Mitt sätt är lite mer omständigt, men också kanske närmare en klassisk gymnasielösning, medan Albikis sätt är lite snabbare. Jag föreslår att du prövar båda. 

---

Det blir $\frac{1}{{\left(p+1\right)}^2}$, men ja. n måste vara ett heltal större än noll enligt uppgiften. Det medför att nämnaren aldrig blir negativ, bråket blir då aldrig negativt, och olikheten alltid är uppfylld. 

 Gjorde om och såg att jag hade gjort ett slarvfel men blir det då inte $\frac{1}{p(p+1{)}^2}$ ? annars vill ja tacka dig för din hjälp!!

Ja, ursäkta. Där gjorde jag ett slarvfel :).  

Smutstvätt skrev:

Ja, ursäkta. Där gjorde jag ett slarvfel :).  

 Okej, Tack så mycket igen! ;)

Varsågod, kul att du uppskattar det! :)

Hur gör du när du förenklar ett uttryck med $k$ (och siffror) och får det till något som beror på $p$? Är $p=k$? I så fall kan inte p vara negativt, eftersom k är ett positivt heltal.

Smaragdalena skrev:

Hur gör du när du förenklar ett uttryck med $k$ (och siffror) och får det till något som beror på $p$? Är $p=k$? I så fall kan inte p vara negativt, eftersom k är ett positivt heltal.

 ja k=p, skulle skriva "k" här men råka skriva "p" eftersom jag brukar använda det istället, tack för svaret :)