Induktionsbevis
Hej! Klurar på denna uppgift:
Facit ser ut såhär:
Något jag inte riktigt förstår är varifrån 1/3*p(p+1)(p+5) i VL kommer ifrån? Jag förstår raden innan med p(p+3)+(p+1)(p+1+3), men sedan begriper jag inte riktigt hur de går vidare.
Tack på förhand!
Jag är inte tillfreds med bokens sätt att presentera beviset.
Vi har ”satsen”
1*4+…+n(n+3) = n(n+1)(n+5)/3 (S)
Först visas att (S) gäller för n = 1. Så långt har jag inga invändningar.
Men sedan tycker jag man ska skriva:
Vi antar att (S) gäller för (något) n = p
DET VILL SÄGA att
1*4+…+p(p+3) = p(p+1)(p+5) / 3 (A)
och påstår att den i så fall gäller även för n = p+1
DET VILL SÄGA att
1*4+…+p(p+3)+(p+1)(p+4) = (p+1)(p+2)(p+6) / 3 (P)
TY
VL (P) = p(p+1)(p+5)/3 + (p+1)(p+4) =
<här har de alltså ersatt termerna som jag markerat med fetstil i (P)-raden med högerledet i (A)-raden>
= (p+1)p(p+5)/3 + 3(p+1)(p+4)/3 = (p+1)[p(p+5) + 3(p+4)] / 3 =
= (p+1) (p2+8p+12) /3
< genom att förlänga andra termen med 3 och bryta ut (p+1) har vi fått ett uttryck som kan jämföras med högerledet i (P)-raden >:
HL (P) = (p+1)(p+2)(p+6) / 3 = (p+1)(p2+8p+12) = VL (P)
Alltså följer (S) av induktionsprincipen. VSB
Sammanfattning: Induktionsbevis är snåriga. Vi har tre likheter:
dels själva ”satsen” (S) som ska bevisas,
dels antagandet som jag betecknar med (A),
dels påståendet som jag kallar (P).
En nyckel för att få begreppsreda tror jag är att man skriver ut (A) och (P) med ett ”det vill säga”. Det kan såklart skrivas ”dvs”, jag skrev med stora bokstäver för att lyfta fram det.
Marilyn skrev:
Jag är inte tillfreds med bokens sätt att presentera beviset.
Vi har ”satsen”
1*4+…+n(n+3) = n(n+1)(n+5)/3 (S)
Först visas att (S) gäller för n = 1. Så långt har jag inga invändningar.
Men sedan tycker jag man ska skriva:
Vi antar att (S) gäller för (något) n = p
DET VILL SÄGA att
1*4+…+p(p+3) = p(p+1)(p+5) / 3 (A)
och påstår att den i så fall gäller även för n = p+1
DET VILL SÄGA att
1*4+…+p(p+3)+(p+1)(p+4) = (p+1)(p+2)(p+6) / 3 (P)
TY
VL (P) = p(p+1)(p+5)/3 + (p+1)(p+4) =
<här har de alltså ersatt termerna som jag markerat med fetstil i (P)-raden med högerledet i (A)-raden>= (p+1)p(p+5)/3 + 3(p+1)(p+4)/3 = (p+1)[p(p+5) + 3(p+4)] / 3 =
= (p+1) (p2+8p+12) /3
< genom att förlänga andra termen med 3 och bryta ut (p+1) har vi fått ett uttryck som kan jämföras med högerledet i (P)-raden >:
HL (P) = (p+1)(p+2)(p+6) / 3 = (p+1)(p2+8p+12) = VL (P)
Alltså följer (S) av induktionsprincipen. VSB
Sammanfattning: Induktionsbevis är snåriga. Vi har tre likheter:
dels själva ”satsen” (S) som ska bevisas,
dels antagandet som jag betecknar med (A),
dels påståendet som jag kallar (P).
En nyckel för att få begreppsreda tror jag är att man skriver ut (A) och (P) med ett ”det vill säga”. Det kan såklart skrivas ”dvs”, jag skrev med stora bokstäver för att lyfta fram det.
Då är jag med, tack så jättemycket för hjälpen!
