Induktionsbevis (Matematik/Matte 5/Talföljder och bevisteknik)

Är den sista exponenten 14? Spontant ser jag inte hur den där ekvationen är rätt. Kan du ta en bild på frågan i boken?

Calle_K skrev:
Är den sista exponenten 14? Spontant ser jag inte hur den där ekvationen är rätt. Kan du ta en bild på frågan i boken?

Det ska vara 4 på exponenten. Detta var min lärare som gav mig.

Isåfall är det inget induktionsbevis du behöver, eftersom det bara är 1 fall att bevisa.

Ställ upp VL på gemensam nämnare, utnyttja binomialformeln. Det bör leda dig en bit på vägen.

Calle_K skrev:
Isåfall är det inget induktionsbevis du behöver, eftersom det bara är 1 fall att bevisa.

Ställ upp VL på gemensam nämnare, utnyttja binomialformeln. Det bör leda dig en bit på vägen.

Hur löd binomialformeln nu igen?

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.$

https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem

Jag skulle använda formeln för en geometrisk summa.

Den likheten är ej sann.

Prova t.ex. x=1.

Laguna skrev:
Jag skulle använda formeln för en geometrisk summa.

Hur menar du?

Håller med Laguna, det är smartare.

Men som Trinity säger så är ekvationen fel. Använd Lagunas metod för VL och se vad HL faktiskt blir.

Ställ upp VL mha en summaformel.

Calle_K skrev:
Håller med Laguna, det är smartare.

Men som Trinity säger så är ekvationen fel. Använd Lagunas metod för VL och se vad HL faktiskt blir.

Ställ upp VL mha en summaformel.

Hur gör man det?

VL kan skrivas som $\sum_{k = 0}^{4} \frac{1}{{(x - 2)}^{k}}$

Calle_K skrev:
VL kan skrivas som $\sum_{k = 0}^{4} \frac{1}{{(x - 2)}^{k}}$

Hur fortsätter man vidare sen?

${\begin{aligned}s_{n}&=ar^{0}+ar^{1}+\cdots +ar^{n-1}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}=\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}\\&={\begin{cases}a\left({\frac {1-r^{n}}{1-r}}\right)&r\neq 1\\an&{\text{otherwise}}\end{cases}}\end{aligned}}$

https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series

I detta fall är a=1, n=5 och r det uttrycket som står efter summatecknet.

Calle_K skrev:
${\begin{aligned}s_{n}&=ar^{0}+ar^{1}+\cdots +ar^{n-1}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}=\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}\\&={\begin{cases}a\left({\frac {1-r^{n}}{1-r}}\right)&r\neq 1\\an&{\text{otherwise}}\end{cases}}\end{aligned}}$

https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series

I detta fall är a=1, n=5 och r det uttrycket som står efter summatecknet.

Borde det inte bli n=4 då? Som du skrev ovan?

k går från 0 till 4. Enligt formeln går k från 0 till n-1

Calle_K skrev:
k går från 0 till 4. Enligt formeln går k från 0 till n-1

Nu är jag med! Förstår dock inte fortfarande hur jag mha geometriska summan ska fö fram något på VL.

Testa att skriva ut vad du får av formeln, dvs skriv om VL till det som formeln ger dig

Calle_K skrev:
Testa att skriva ut vad du får av formeln, dvs skriv om VL till det som formeln ger dig

Hänger inte riktigt med, förstår fortfarande inte :( ursäkta för krånglet.

Geometrisk summa står det om här: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/algebraiska-uttryck/geometrisk-summa#!/

och här: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-5/talfoljder-och-bevisteknik/talfoljder#!/

Laguna skrev:
Geometrisk summa står det om här: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/algebraiska-uttryck/geometrisk-summa#!/

och här: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-5/talfoljder-och-bevisteknik/talfoljder#!/

Ja jag förstår vad de begreppen är. Det vet jag. Men jag förstår inte hur man med hjälp av en summaformel ska kunna ta sig vidare.

OBS! Täljaren och nämnaren i bilden ska byta plats. Den är felskriven.

Använd formeln och visa hur det blev, så går vi vidare därifrån.