Induktionsbevis

Jag tror det är feltryck i facit.

Om man ersätter att summan går t.o.m. p istället för t.o.m. p+1 på den markerade raden så stämmer beviset; (p+1)/(p+2) termen är då tagen från den summan.

$\sum _{k=1}^{p\xcancel{+1}}\frac{k}{k+1}+\frac{p+1}{p+2}-\frac{{\left(p+1\right)}^2}{p+2}$

Bedinsis skrev:

Jag tror det är feltryck i facit.

Om man ersätter att summan går t.o.m. p istället för t.o.m. p+1 på den markerade raden så stämmer beviset; (p+1)/(p+2) termen är då tagen från den summan.

$\sum _{k=1}^{p\xcancel{+1}}\frac{k}{k+1}+\frac{p+1}{p+2}-\frac{{\left(p+1\right)}^2}{p+2}$

Men hur blir det med raden över? Ska jag fortfarande subtrahera (p+1)^2/(p+2) på båda sidorna? 

Förstår inte riktigt hur det blir om man ändrar p+1 till p heller. Är tacksam om du skulle kunna visa det.

På den gulmarkerade raden borde summationen gå från k = 1 till k = p, sedan kommer en "lös" term (p+1)/(p+2) som motsvarar den p+1:a termen när summan är från 0 till p+1. Det som står före minustecknet är alltså samma sak på den sista vita och den gula raden, om man justerar summan så att k = p+1 inte är med.

Ministampe skrev:

Bedinsis skrev:

Jag tror det är feltryck i facit.

Om man ersätter att summan går t.o.m. p istället för t.o.m. p+1 på den markerade raden så stämmer beviset; (p+1)/(p+2) termen är då tagen från den summan.

$\sum _{k=1}^{p\xcancel{+1}}\frac{k}{k+1}+\frac{p+1}{p+2}-\frac{{\left(p+1\right)}^2}{p+2}$

Men hur blir det med raden över? Ska jag fortfarande subtrahera (p+1)^2/(p+2) på båda sidorna? 

Förstår inte riktigt hur det blir om man ändrar p+1 till p heller. Är tacksam om du skulle kunna visa det.

Okej.

$$\begin{gathered} \sum _{k=1}^{p+1}\frac{k}{k+1}= \\ \frac{1}{1+1}+\frac{2}{2+1}+\frac{3}{3+1}+...+\frac{p}{p+1}+\frac{p+1}{p+1+1}= \\ \left(\frac{1}{1+1}+\frac{2}{2+1}+\frac{3}{3+1}+...+\frac{p}{p+1}\right)+\frac{p+1}{p+1+1}= \\ \left(\sum _{k=1}^p\frac{k}{k+1}\right)+\frac{p+1}{p+1+1}= \\ \left(\sum _{k=1}^p\frac{k}{k+1}\right)+\frac{p+1}{p+2}= \\ \sum _{k=1}^p\frac{k}{k+1}+\frac{p+1}{p+2} \end{gathered}$$

Bedinsis skrev:

Ministampe skrev:

Visa föregående citat

Bedinsis skrev:

Jag tror det är feltryck i facit.

Om man ersätter att summan går t.o.m. p istället för t.o.m. p+1 på den markerade raden så stämmer beviset; (p+1)/(p+2) termen är då tagen från den summan.

$\sum _{k=1}^{p\xcancel{+1}}\frac{k}{k+1}+\frac{p+1}{p+2}-\frac{{\left(p+1\right)}^2}{p+2}$

Men hur blir det med raden över? Ska jag fortfarande subtrahera (p+1)^2/(p+2) på båda sidorna? 

Förstår inte riktigt hur det blir om man ändrar p+1 till p heller. Är tacksam om du skulle kunna visa det.

Okej.

$$\begin{gathered} \sum _{k=1}^{p+1}\frac{k}{k+1}= \\ \frac{1}{1+1}+\frac{2}{2+1}+\frac{3}{3+1}+...+\frac{p}{p+1}+\frac{p+1}{p+1+1}= \\ \left(\frac{1}{1+1}+\frac{2}{2+1}+\frac{3}{3+1}+...+\frac{p}{p+1}\right)+\frac{p+1}{p+1+1}= \\ \left(\sum _{k=1}^p\frac{k}{k+1}\right)+\frac{p+1}{p+1+1}= \\ \left(\sum _{k=1}^p\frac{k}{k+1}\right)+\frac{p+1}{p+2}= \\ \sum _{k=1}^p\frac{k}{k+1}+\frac{p+1}{p+2} \end{gathered}$$

Förstår! Är den sista raden då mindre eller lika med (p+1)^2/p+2. Och i så fall antar jag att man subtraherar bort den termen på båda sidor sen?

Ministampe skrev:

Bedinsis skrev:

Visa föregående citat

Ministampe skrev:

Bedinsis skrev:

Jag tror det är feltryck i facit.

Om man ersätter att summan går t.o.m. p istället för t.o.m. p+1 på den markerade raden så stämmer beviset; (p+1)/(p+2) termen är då tagen från den summan.

$\sum _{k=1}^{p\xcancel{+1}}\frac{k}{k+1}+\frac{p+1}{p+2}-\frac{{\left(p+1\right)}^2}{p+2}$

Men hur blir det med raden över? Ska jag fortfarande subtrahera (p+1)^2/(p+2) på båda sidorna? 

Förstår inte riktigt hur det blir om man ändrar p+1 till p heller. Är tacksam om du skulle kunna visa det.

Okej.

$$\begin{gathered} \sum _{k=1}^{p+1}\frac{k}{k+1}= \\ \frac{1}{1+1}+\frac{2}{2+1}+\frac{3}{3+1}+...+\frac{p}{p+1}+\frac{p+1}{p+1+1}= \\ \left(\frac{1}{1+1}+\frac{2}{2+1}+\frac{3}{3+1}+...+\frac{p}{p+1}\right)+\frac{p+1}{p+1+1}= \\ \left(\sum _{k=1}^p\frac{k}{k+1}\right)+\frac{p+1}{p+1+1}= \\ \left(\sum _{k=1}^p\frac{k}{k+1}\right)+\frac{p+1}{p+2}= \\ \sum _{k=1}^p\frac{k}{k+1}+\frac{p+1}{p+2} \end{gathered}$$

Förstår! Är den sista raden då mindre eller lika med (p+1)^2/p+2. Och i så fall antar jag att man subtraherar bort den termen på båda sidor sen?

Ja. Även om facit valde att subtrahera med den termen först.