Induktionsbevis
Jag har gjort första steget dvs visa att det fungerar för exempelvis n=4.
Sen tänker jag fortsätta och säga att det fungerar när n=p:
Då ska det också fungera för n=p+1:
VL ökar med *3 varje gång man ökar n med +1. HL ökar med
Jag vet inte riktigt hur jag ska ta mig vidare, så behöver verkligen hjälp.
Tack på förhand!
3p+1 = 3*3p > 3*p3 =
(p+1)3 + 3p3 - (p+1)3 =
(p+1)3 +3p3 - p3-3p2-3p -1 =
(p+1)3 +2p3 -3p2-3p -1 =
(p+1)3 +p3 -3p2+p3 -3p -1 =
(p+1)3 +p3 -3p2+p3 -4p +p-1 =
(p+1)3 +p2(p-3)+p(p2 -4) + p -1 >
(p+1)3
Ah, det gamla knepet att lägga till en nolla skriven på ett krångligt sätt, den här gången som (p+1)3 - (p+1)3. Jag är full av beundran för den som kom på det för första gången!
henrikus skrev:3p+1 = 3*3p > 3*p3 =
(p+1)3 + 3p3 - (p+1)3 =
(p+1)3 +3p3 - p3-3p2-3p -1 =
(p+1)3 +2p3 -3p2-3p -1 =
(p+1)3 +p3 -3p2+p3 -3p -1 =
(p+1)3 +p3 -3p2+p3 -4p +p-1 =
(p+1)3 +p2(p-3)+p(p2 -4) + p -1 >
(p+1)3
Jag har läst ett par gånge men är lite förvirrad, skulle du bara kunna förklara vad du utgår ifrån så kanske jag kan förstå mig på resten?
Tack för hjälpen!
Jag fick också stirra flera gånger innan jag insåg hur man kom från rad 1 till rad 2... Det var därför jag skrev ett inägg om detta. Kommer du vidare med den ledtråden?
Ett induktionsbevis går ju ut på att man antar att en utsaga gäller för n=p och bevisar att då gäller den för n=p+1. Och det är det som görs ovan. Antagandet är att 3p > p3 och så visas att
3p+1 > (p+1)3 om p>3
Det är länge sedan jag höll på med denna typ av bevis, men en sak slog mig.
Skulle man kunna skriva om uttrycket:
Sedan visar man att det gäller för n=4. Därefter har man ett uttryck i VL som ökar med en faktor n och ett i HL som ökar med en faktor log(n), vilket är mindre.
Det är enkelt att visa att
3 p^3 - (p + 1)^3 >0
för p≥3 med derivata.
