Induktionsbevis

Du har fått att $\frac{a^p}{a-b}-\frac{b^p}{a-b}$blir ett heltal.   Det stämmer. Vi kan testa med p=1, a=3, b=1

men det betyder inte att  $\frac{a^p}{a-b}$är ett heltal.  Tex med p=1, a=3, b=1

(motiveringen är alltså lite svag)

joculator skrev:

Du har fått att $\frac{a^p}{a-b}-\frac{b^p}{a-b}$blir ett heltal.   Det stämmer. Vi kan testa med p=1, a=3, b=1

men det betyder inte att  $\frac{a^p}{a-b}$är ett heltal.  Tex med p=1, a=3, b=1

(motiveringen är alltså lite svag)

Hur skulle du ha motiverat det?

Det kan inte motiveras eftersom det inte är sant, vilket joculator visat med det givna motexemplet. För att komma vidare, formulera induktionsantagandet som att  (a^p-b^p)=k(a-b).

(Frågan är om inte det är enklare utan induktion. Summera den geometriska serien med kvoten x=a/b , Men här var ju induktion anbefallt)

Håller med. Denna sats är inte lätt att bevisa med induktion. 

a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²) 

a⁴-b⁴ = (a-b)(a³+a²b+ab²+b³)

Osv

Det ska nog gå. Provar med a⁵-b⁵:

a⁵-b⁵ = (a+b)(a⁴-b⁴)+ab⁴-ba⁴ = (a+b)(a⁴-b⁴)+ab(b³-a³)

och att a-b delar a⁴-b⁴ och a³-b³ vet vi redan.

Jo. Så kan man göra. Men det är inte ett klassiskt induktionsbevis där man antar att påståendet är sant för n=k och bevisar att då är det sant för n=k+1 . Här måste man anta att det är sant för n=k och n=k-1. 

Men din lösning är rätt! Man måste komma ihåg att visa att den gäller för n=1 och n=2.

Det kallas för stark induktion, tror jag.