induktionsbevis

Hej har en uppgift som går till såhär:

Jag har löst a) och fick rätt svar men b) frågan är lite mer klurigare och jag skulle behöva hjälp med den. Jag löste b) frågan såhär:
Det här är induktionsbevis så jag vet att:

1) visa att n=1 gäller för formeln

2) visa att formeln gäller för n=p (induktionsantagande)

3) Bevisa att nu gäller formeln för n=p och att den då gäller också för n=p+1 -->Dvs. VL=HL

så jag började så:

jag förstår inte om jag tänkt rätt eller inte för hur ska jag nu göra VL=HL ?

Bra början! Nu vill du visa att formelförslaget, för $n=p+1$ , ger samma resultat som den rekursiva formeln, dvs. att:

$a_{n + 1} = a_{n} + 4 n + 7$

ger samma resultat om du sätter in $n=p+1$ , som du får när du satte in $n=p+1$ i formelförslaget, $a_n=2n^2+5n-3$ . :)

Tillägg: 17 mar 2024 15:17

Men, hur är det med $2(p+1)^2$ ‚ vad blir det om du utvecklar kvadraten? :)

Smutstvätt skrev:
Bra början! Nu vill du visa att formelförslaget, för $n=p+1$ , ger samma resultat som den rekursiva formeln, dvs. att:

$a_{n + 1} = a_{n} + 4 n + 7$

ger samma resultat om du sätter in $n=p+1$ , som du får när du satte in $n=p+1$ i formelförslaget, $a_n=2n^2+5n-3$ . :)

Tillägg: 17 mar 2024 15:17

Men, hur är det med $2(p+1)^2$ ‚ vad blir det om du utvecklar kvadraten? :)

Jahhaaa tack för förklaringen ska testa lösa vidare nu och om man utvecklar kvadranten 2(p+1)² = 2(p²+2p+1²) men vad ska jag göra med det ska jag fortsätta förenkla

Sarah Almajidi skrev:
Smutstvätt skrev:
Bra början! Nu vill du visa att formelförslaget, för $n=p+1$ , ger samma resultat som den rekursiva formeln, dvs. att:

$a_{n + 1} = a_{n} + 4 n + 7$

ger samma resultat om du sätter in $n=p+1$ , som du får när du satte in $n=p+1$ i formelförslaget, $a_n=2n^2+5n-3$ . :)

Tillägg: 17 mar 2024 15:17

Men, hur är det med $2(p+1)^2$ ‚ vad blir det om du utvecklar kvadraten? :)

Jahhaaa tack för förklaringen ska testa lösa vidare nu och om man utvecklar kvadranten 2(p+1)² = 2(p²+2p+1²) men vad ska jag göra med det ska jag fortsätta förenkla

Eller asså nu när jag kvadrerat rätt och fått : 2p²+9p+3 så skulle jag ju sätta in n=p+1 för att se om det ger samma resultat som när jag satte in a_n= 2n²+ 5n-3 och då får jag:

a_n+1= a_n+ 4n+7

men det blir fel för vet inte vad jag ska göra av: a_p+1+1.......

Kvadraten borde bli $2(p+1)^2=2(p^2+2p+1)=2p^2+4p+2$ , men du kanske har förenklat hela uttrycket (med övriga termer) mer efter det?

Oavsett, jag tänker mig ett induktionssteg på denna form:

$a_{n + 1} : \underset{använd induktions - anntagandet}{\underset{⏟}{a_{n}}} + 4 n + 7 = 2 {(n + 1)}^{2} + 5 (n + 1) - 3$

Där VL är rekursionsformeln, och HL är påståendet. Om de stämmer, har du gjort klart induktionssteget och bevisat satsen. :)

Svara

Visa senaste svar