Induktionsbevis

Jag håller på med ett induktionsbevis här.

Definiera följd ${z}_{n = 1}^{\infty}$ av punkter i det komplexa talplanet genom att sätta $z_{1} = 1$ och $z_{n + 1} = (4 + 3 i) z_{n} - 1$ . Bevisa att $| z_{n} | \geq 4^{n - 1} f ö r a l l a n \geq 1$ .

Så jag tar basfallet $| z_{1} | \geq 4^{1 - 1} = | 1 | \geq 1$ , vilket är sant.

Sedan gör jag antagandet att det gäller för ett godtyckligt $n = p \geq 1$ , d.v.s, $| z_{p} | \geq 4^{p - 1}$ , och vill nu visa att $| z_{p + 1} | \geq 4^{(p + 1) - 1}$ .

V.L där har vi ju ett uttryck för som är $(4 + 3 i) z_{p} - 1$ . Så då får vi: $| (4 + 3 i) z_{p} - 1 | \geq 4^{p}$ .

Vi vet att olikheten är sann för z_1, så vi stoppar in p=1 i olikheten och får då $| 3 + 3 i | \geq 4^{1}$ .

Det som står i V.L. där ser ju ut som radien till ett tal i det komplexa planet, så vi får: $\sqrt{3^{2} + 3^{2}} \geq 4^{1}$ . Efter lite räkning så ser vi att den olikheten stämmer.

Det var många år sedan jag gjorde induktionsbevis senast, så jag undrar om jag verkligen gjort rätt här.

Tycker det ser rätt ut

Ja, jag tycker också att det ser rätt ut, men jag känner mig osäker.

Har kollat närmre på detta idag och det ser inte ut att fungera ändå. Om man bara trycker in ett värde på p kan man väl inte sedan konstatera att det gäller för alla p. Så jag börjar om!

Ber om ursäkt var lite för snabb igår... Det är sant som du säger att man inte kan göra så.

Går att använda den omvända triangelolikheten istället:

$|(4 + 3 i) z_{p} - 1| \geq |(4 + 3 i) z_{p}| - |- 1| = |4 + 3 i| |z_{p}| - 1$

Sedan får du med $|z_{p}| \geq 4^{p - 1}$ att

$|4 + 3 i| \cdot |z_{p}| - 1 \geq |4 + 3 i| \cdot 4^{p - 1} - 1 = 5 \cdot 4^{p - 1} - 1 = \frac{5}{4} 4^{p} - 1$

Olikheten $\frac{5}{4} 4^{p} - 1 \geq 4^{p}$ fås med lite omräkning till $4^{p} \geq 4$ vilket ju gäller för alla $p \geq 1$

Ruben skulle du kunna förklara triangelolikheten du använder? Har svårt att se var den första raden kommer ifrån

Absolut, triangelolikheten säger att $|x + y| \leq |x| + |y|$ , men det finns också en omvänd triangelolikhet som säger att $|x + y| \geq |x| - |y|$ , vilket är vad jag använde.

tack!

Svara

Visa senaste svar