Induktionsbevis

Jag har i en uppgift definierat ett summauttryck enligt följande: $\sum_{k = 1}^{n} 2 {(k + 1)}^{2}$
Uttrycket resulterar i antalet klippblock som finns totalt i en struktur med n lager.

Jag har sedan fått uttrycket $\frac{2 n^{3}}{3} + 3 n^{2} + \frac{13 n}{3}$ som också ska räkna antalet klippblock som behövs för en struktur med n lager.

Min uppgift är nu att bevisa att detta är sant med hjälp av induktion.
Jag har satt ett bassteg som: $\sum_{k = 1}^{1} 2 {(k + 1)}^{2} = 2 \times 1$ ³3 + 3×12 +13×13 = 8

Jag antar då att: $\sum_{k = 1}^{p} 2 {(k + 1)}^{2} = 2 p$ ³3 + 3p2 + 13p3

Därmed borde också följande gälla: $\sum_{k = 1}^{p + 1} 2 {(k + 1)}^{2} = 2 (p + 1)$ ³3+3(p+1)2 + 13(p+1)3

Det är vid denna punkt jag fastnar.

Tacksam för hjälp om hur man tar sig vidare från detta steg, om jag tänkt rätt till att börja med :)

Det blev lite knasigt med utskriften på ekvationerna, men hoppas det är läsligt endå.

Jag har inte räknat själv men spontant tycker jag det ser rätt ut hittills.

Du kanske kan utnyttja att

$\sum_{k = 1}^{p + 1} 2 {(k + 1)}^{2} = \sum_{k = 1}^{p} 2 {(k + 1)}^{2} + 2 ({(p + 1) + 1)}^{2}$

Kommer du vidare nu?

Jag förstår vänster led $\sum_{k = 1}^{p + 1} 2 {(k + 1)}^{2}$ som de summauttryck jag definierat.

Jag förstår dock inte riktigt höger led här $\sum_{k = 1}^{p} 2 {(k + 1)}^{2} + ({(p + 1) + 1)}^{2}$
Hur kommer man fram till att det jag rödmarkerat här ska adderas. Borde inte p vara en addition mindre än p+1?

Det som händer är att du delar upp summan från 1 till p+1 i dels alla termer upp till p för sig och den sista termen för p+1 för sig. (Det fattas väl faktorn 2 i det röda.)

Ja precis 2:an ska vara med där också.

Jag förstår vad som menas nu, i hur VL = HL i detta fall, tack!

Dock tar det fortfarande emot lite i hur jag ska gå från det steget till det fasta uttrycket $\frac{2 n^{3}}{3} + 3 n^{2} + \frac{13 n}{3}$ . Då det är det jag ska bevisa med induktion.

På nått vis ska jag alltså gå från ett summauttryck till en fast formel?

a.carnosa skrev:
På nått vis ska jag alltså gå från ett summauttryck till en fast formel?

Jag ser att du markerat tråden som löst men det skadar väl inte om jag svarar dig ändå ifall något fortfarande är osäkert.

I första inlägget i den här tråden så skrev du ett antagande. Ersätt summan från 1 till p i ditt senaste uttryck med HL i det antagandet.

Svara

Visa senaste svar