Induktionsbevis

Man vill med hjälp av induktionsbevis bevisa att $y^{(n)} = {(- 1)}^{n} n! {(1 + x)}^{- n - 1}$ som är formel för $y', y'', y''', y (4) o . s . v .$ gäller för $y^{k + 1)}$ .

Efter derivering av formeln får vi $y^{(k + 1)} = {(- 1)}^{k} k! (- k - 1) {(1 + x)}^{- k - 2}$ så långt är jag med.
Sedan får de $y^{(k + 1)} = {(- 1)}^{k + 1} (k + 1)! {(1 + x)}^{- (k + 1) - 1}$
Det jag inte förstår är vart k! tog vägen vid uppstädningen. Kvar finns bara !-tecknet?

Just den delen du frågar om:

k!•(-k-1) = k!•(-1)•(k+1) = (-1)•(k+1)!

Och

(-1)^k•(-1) = (-1)^k+1

Yngve skrev:
Just den delen du frågar om:

k!•(-k-1) = k!•(-1)•(k+1) = (-1)•(k+1)!

Precis det funderade jag över. Utbrytningen av -1 är lätt att förstå och att den kan läggas till (-1)^k så att vi får (-1)^k+1) eftersom vi fick ytterligare en (-1).

Däremot är jag inte med på att k!(k+1)=(k+1)!

Edit: Ja jag ser att det stämmer om jag sätter in siffror. Alltså är det någon regel för n-fakultet jag inte är med på.

ConnyN skrev:
Yngve skrev:
Just den delen du frågar om:

k!•(-k-1) = k!•(-1)•(k+1) = (-1)•(k+1)!

Precis det funderade jag över. Utbrytningen av -1 är lätt att förstå och att den kan läggas till (-1)^k så att vi får (-1)^k+1) eftersom vi fick ytterligare en (-1).

Däremot är jag inte med på att k!(k+1)=(k+1)!

Ett sifferexempel

5!(5+1) = 5!*6 = 6!

Ture skrev:

Ett sifferexempel

5!(5+1) = 5!*6 = 6!

Ja nu ser jag. Jag är inte så van vid fakultet ännu 😊
Tusen tack både Yngve och Ture för snabba svar!

För att tydliggöra ytterligare:

k! = 1•2•3•...•k

k!•(k+1) = 1•2•3•...•k•(k+1) = (k+1)!

Svara

Visa senaste svar