Induktionsbevis

Jag ska visa att påståendet stämmer för alla positiva heltal n:

$\sum_{k = n}^{2 n} k (k + 1) = \frac{1}{3} n (n + 1) (7 n + 5)$

Jag kallar påståendet P(p).

-Steg 1:

Jag visar att P(1) stämmer.

VL = 1(1+1) + 2(2+1) = 8

HL = $\frac{1}{3} \times 1 (1 + 1) (7 \times 1 + 5)$ = 8

VL=HL

-Steg 2:

Sedan ska jag visa att P(p) $= >$ P(p+1)

P(p): $\sum_{k = p}^{2 p} k (k + 1) = \frac{1}{3} p (p + 1) (7 p + 5)$

P(p+1): $\sum_{k = p}^{2 p + 2} k (k + 1) = \frac{1}{3} (p + 1) (p + 2) (7 p + 12)$

Det är dock här som jag är ganska säker på att jag har gjort fel, men jag vet inte vad för fel.

Det är rätt så långt.

Nu får du uttrycka summan i P(p+1) med hjälp av summan i P(p), dvs. lägga till två termer, och visa att detta är lika med högerledet i P(p+1).

Menar du:

$\frac{1}{3} (p + 1) (p + 2) (7 p + 12) = (p + 1) (p + 2) + \frac{1}{3} p (p + 1) (7 p + 5)$

Nästan, men det är två nya termer i summan, för den går nu till 2p+2 och inte till 2p.

Då förstår jag faktiskt inte vad jag ska göra.

Varifrån fick du (p+1)(p+2)?

$\sum_{k = p}^{2 p + 2} k (k + 1) = \sum_{k = p}^{2 p} k (k + 1) + (p + 1) (p + 2)$

I vänstra summan ska k anta värdena 2p+1 och 2p+2 som inte är med i högra summan. Vilka två termer ger det upphov till?

Det är något fundamentalt fel i det sättet jag ser på dessa problem så jag vet inte, utan behöver hjälp med det. Det vill säga att jag måste få se termerna och sedan studera dem.

Om du har tid, kan du lägga ut termerna så att jag kan studera dem, och lära mig hur jag ska tänka mm.

Om vi tar p = 2 så är den ena summan

2*3+3*4+4*5

och den andra summan

2*3+3*4+4*5+5*6+6*7

$(2 p + 1) (2 p + 2) + (2 p + 2) (2 p + 3)$

Dessa termer, för jag vet inte annars

Laguna skrev:
I vänstra summan ska k anta värdena 2p+1 och 2p+2 som inte är med i högra summan. Vilka två termer ger det upphov till?

(2p+1)(2p+2) + (2p+2)(2p+3)

Dessa termer, för jag vet inte annars

Ja, precis.

Nu får du bara kolla om P(p) och P(p+1) skiljer sig med precis det uttrycket.

Laguna skrev:
Ja, precis.

Nu får du bara kolla om P(p) och P(p+1) skiljer sig med precis det uttrycket.

Det verka inte som det. Och jag ska ju visa att påståendet stämmer.

$(2 p + 1) (2 p + 2) + (2 p + 2) (2 p + 3) + \frac{1}{3} p (p + 1) (7 p + 5) ä r i n t e \frac{1}{3} (p + 1) (p + 2) (7 p + 12)$

Tillägg: 24 feb 2023 19:24

$\frac{7 x^{3}}{3} + 12 x^{2} + \frac{53 x}{3} + 8 ä r i n t e \frac{7 x^{3}}{3} + 11 x^{2} + \frac{50 x}{3} + 8$

Det var ju otur. Jag ska kolla.

Jag (vi) har missat att även startvärdet ändras när man ändrar n. De två extra termerna på slutet är rätt, men n(n+1) i början ska subtraheras.

Svara

Visa senaste svar