Induktionsbevis

Hej!

Jag ska bevisa detta:

$\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + . . . + \frac{1}{n^{2}} \leq 2 - \frac{1}{n}$

Jag har utfört steg 1 och jag har även antagit att för n= p så gäller:

$\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + . . . + \frac{1}{p^{2}} \leq 2 - \frac{1}{p}$

I mitt bevis ska bevisa att för n=p+1 så gäller:

$\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + . . . + \frac{1}{{(p + 1)}^{2}} \leq 2 - \frac{1}{p + 1}$

Jag ska försöka bevisa att HL - VL $\geq$ 0

Då tänker jag att jag använder mig av för summan av talföljden för n=p och antar att det största värdet för det är $2 - \frac{1}{p}$ .

Summan för talföljden fram till n=p+1 blir då: $2 - \frac{1}{p} + \frac{1}{{(p + 1)}^{2}}$

Alltså blir HL-VL $\geq 0$ :

$2 - \frac{1}{p + 1} - (2 - \frac{1}{p} + \frac{1}{{(p + 1)}^{2}}) \geq 0$

Efter mycket förenkling fick jag fram att 1 $\geq 0$ (jag multiplicerade med nämnarna för att få bort de i samtliga termer),men jag är van vid att få fram ett uttryck och inte en siffra i slutet. Kan mitt svar stämma?

Tack på förhand!

Efter mycket förenkling fick jag fram att 1 ≥0≥0 (jag multiplicerade med nämnarna för att få bort de i samtliga termer),men jag är van vid att få fram ett uttryck och inte en siffra i slutet. Kan mitt svar stämma?

Jag tror att det är multiplikationen som förvirrar. Så länge p är större än -1 är nämnaren alltid positiv, och det går då bra att multiplicera bort nämnaren utan att byta tecken, men i detta fall kan det vara bra att behålla den. Om du behåller nämnarna uppkommer inte situationen med $1\geq0$ .

Med det sagt, det ser vettigt ut! :)

Hade du $\frac{1}{p} - \frac{1}{p+1} - \frac{1}{(p+1)^2}$ någonstans på vägen?

Vad blev nästa steg?

Laguna skrev:
Hade du $\frac{1}{p} - \frac{1}{p+1} - \frac{1}{(p+1)^2}$ någonstans på vägen?

Vad blev nästa steg?

Ja, jag hade med det uttrycket. Dvs: $\frac{1}{p} - \frac{1}{p + 1} - \frac{1}{{(p + 1)}^{2}} \geq 0$

För mig blev nästa steg att multiplicera med nämnarna i båda leden. Då fick jag efter förenkling 1 på VL. Jag provade att behålla nämnarna, som Smutstvätt tipsade, och istället skriva allt på gemensamt bråkstreck och då kom jag fram till ett uttryck där jag kunde se att VL skulle vara större än eller lika med 0

Visa hur det blir så.

$1 - \frac{p}{p + 1} - \frac{p}{{(p + 1)}^{2}} {(p + 1)}^{2} - p (p + 1) - p p^{2} + 2 p + 1 - p^{2} - p - p = 1$

Detta ovan är alltså VL (På första raden har jag redan multiplicerat med p, därav 1)

Och då blev det 1 större än eller lika med 0. Är det något som inte stämmer med det?

Nej, då är allt bra.

Svara

Visa senaste svar