Induktionsbevis

Visa att $n^{n} \geq {(n + 1)}^{n - 1}$ gäller för alla positiva heltal n.

Osäker på hur man formulerar implikationen.

1) vi testar med startvärdet 1.

$1 ¹ \geq {(1 + 1)}^{1 - 1} 1 \geq 1$

Det stämmer.

2) Antag att $n^{n} \geq {(n + 1)}^{n - 1}$ gäller för något heltal $n > 0$ .

Vi vill visa att ${(n + 1)}^{n + 1} \geq {(n + 1 + 1)}^{n + 1 - 1}$

dvs

${(n + 1)}^{n + 1} \geq {(n + 2)}^{n}$ det kan man skriva om så här ${(n + 1)}^{n} (n + 1) \geq {(n + 2)}^{n}$

Visa spoiler

$A n t a g n^{n} \geq {(n + 1)}^{n - 1} \Leftrightarrow n \geq {(1 + \frac{1}{n})}^{n - 1} B e v i s a {(n + 1)}^{n + 1} \geq {(n + 2)}^{n} \Leftrightarrow n + 1 \geq {(1 + \frac{1}{n + 1})}^{n} {(1 + \frac{1}{n + 1})}^{n} < {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n - 1} (1 + \frac{1}{n}) \leq n (1 + \frac{1}{n}) = n + 1$

Svår uppgift. Var tvungen att googla lite.

henrikus skrev:

Visa spoiler

$A n t a g n^{n} \geq {(n + 1)}^{n - 1} \Leftrightarrow n \geq {(1 + \frac{1}{n})}^{n - 1} B e v i s a {(n + 1)}^{n + 1} \geq {(n + 2)}^{n} \Leftrightarrow n + 1 \geq {(1 + \frac{1}{n + 1})}^{n} {(1 + \frac{1}{n + 1})}^{n} < {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n - 1} (1 + \frac{1}{n}) \leq n (1 + \frac{1}{n}) = n + 1$

Svår uppgift. Var tvungen att googla lite.

Är beviset klart? skulle vi inte kunna resonera om e? Eftersom ${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ ....

jag förstod inte riktigt vad som hände till höger om ekvivalenspilen i Bevisa

Är det något sådant vi är ute efter:

$\frac{{(n + 2)}^{n}}{{(n + 1)}^{n}} = {(\frac{n + 2}{n + 1})}^{n}$ (dock så ser jag inte hur vi får: ${(1 + \frac{1}{n + 1})}^{n}$ )
Skriver vi om implikationen för att bevisa omskrivningen? Och eftersom vi har ekvivalens då har vi bevisat det andra också...?

(har lite svårt för att hänga med i omskrivningarna)

Svara