induktionsbevis 1/3

Välkommen till Pluggakuten! Hur har du försökt själv? Börja med att kontrollera att basfallet stämmer. Anta därefter att det är sant för n = k, och använd detta antagande för att bevisa att det är sant för n = k + 1.

Smutstvätt skrev:

Välkommen till Pluggakuten! Hur har du försökt själv? Börja med att kontrollera att basfallet stämmer. Anta därefter att det är sant för n = k, och använd detta antagande för att bevisa att det är sant för n = k + 1.

 Hej, jag har testat med basfallet och det stämmer men jag fastnar vid induktionsantagandet / påståendet 

Vi antar att påståendet är sant för n = k, alltså att $8^k-2^k$ är delbart med 6. Vi ska nu visa att detta gäller för n = k + 1, om det är sant för n = k:

$8^{k+1}-2^{k+1}$ ska vara delbart med 6. 

$8^{k+1}-2^{k+1}=8·8^k-2·2^k$

Dela upp åttorna i $8·8^k=6·8^k+2·8^k$. Då kan vi skriva om vårt induktionssteg som $6·8^k+2(8^k-2^k)$. Med hjälp av induktionsantagandet kan vi nu säga att den högra termen är delbar med sex, och eftersom den vänstra termen innehåller faktorn sex måste även den vänstra termen vara delbar med sex. Därmed har vi visat med hjälp av induktion att $8^n-2^n$ är delbart med 6 för alla positiva heltal n. 

Smutstvätt skrev:

Vi antar att påståendet är sant för n = k, alltså att $8^k-2^k$ är delbart med 6. Vi ska nu visa att detta gäller för n = k + 1, om det är sant för n = k:

$8^{k+1}-2^{k+1}$ ska vara delbart med 6. 

$8^{k+1}-2^{k+1}=8·8^k-2·2^k$

Dela upp åttorna i $8·8^k=6·8^k+2·8^k$. Då kan vi skriva om vårt induktionssteg som $6·8^k+2(8^k-2^k)$. Med hjälp av induktionsantagandet kan vi nu säga att den högra termen är delbar med sex, och eftersom den vänstra termen innehåller faktorn sex måste även den vänstra termen vara delbar med sex. Därmed har vi visat med hjälp av induktion att $8^n-2^n$ är delbart med 6 för alla positiva heltal n. 

 Tack för hjälpen!

Varsågod!