Induktionsbevis

Bra början.

Du vet ju att 2^p > p^2, vilket betyder att 2*2^p > 2*p^2. Kontrollera nu för vilka p det gäller att  2*p^2 är större än HL.

Hej!

Du behöver visa att

    $$p^2 \geq 2p + 1$$ om $$p\geq 5.$$

Då följer det att

    $$2^{p+1}\geq p^2 + p^2 \geq (p+1)^2.$$

Albiki

Så med antagandet att olikheten gäller för n = p är det okej att skriva:

$p^{2+1} =\hspace{0.17em}2 *\hspace{0.17em}{2}^p > 2 *\hspace{0.17em}{p}^2 =\hspace{0.17em}{p}^2 + p^2$           ?

Jag tror att det är steget som Albiki talar om, att jag ska visa att: $2p^2 \ge p^2 + 2p + 1 =\hspace{0.17em}{p}^2 \ge 2p + 1$ som jag fastnade på.

"Intuitivt" så vet jag att olikheten gäller för alla heltal p > 2 men det är ju inget bevis. Jag vet också att differensen ökar med större p. p = 5 ger differensen 14, p = 6 ger differensen 23 etc.

Jag testade för skoj skull att derivera olikheten vilket ger: $2p \ge 2$ vilket visar att olikheten gäller för alla p som är större än det minsta p som ger att olikheten gäller. Så jag "vet" att det gäller men jag kan inte bevisa det.

Ja.

Du vill visa att $2·2^{p }>(p+1{)}^2$

Eftersom $2^p > p^2$ enligt antagandet så gäller att $2·2^p > 2·p^2$.

Om du nu kan visa att $2·p^2 > (p + 1{)}^2$ för alla $p \ge 5$ så är du klar.

D.v.s. du ska visa att $p^2 -2p -1 > 0$ för alla $p \ge 5$.

Eftersom derivatan $2p - 2$ är positiv för alla p > 1 så är $p^2 - 2p - 1$ växande för alla p > 1.

Var är då $p^2 -2p -1 = 0$?

Jo, det är vid $p > 1 \pm \sqrt{2}$

Det betyder att $p^2 -2p -1 > 0$ för alla $p > 1 + \sqrt{2}$, vilket även betyder att $p^2 -2p -1 > 0$ för alla $p \ge 5$, vilket skulle visas.

Hej!

En kvadratkomplettering visar att

    $p^2 -2p -1 = (p-1)^2 -2$

och om $p\geq 5$ så är

    $(p-1)^2-2\geq 4^2-2 \geq0.$

Därför är $p^2\geq 2p+1$ om $p\geq 5.$

Albiki