Induktionsantagande
Jag behöver hjälp med hur man skriver induktionsantagande. Om vi t.ex. har denna uppgift:
Jag vill använda stark induktion, skulle mitt induktionsantagande kunna skrivas såhär:
Vi antar att formeln an = 2n är sann för alla värden på n, där 0 ≤ n ≤ k och där k ≥ 3. Vi vill visa att det stämmer för k + 1
eller kan jag skriva det såhär: Vi antar formeln ak = 2k är sann för k ≥ 3. Vill visa att det stämmer för k + 1, dvs ak + 1 = 2k + 1
eller ska jag skriva det på något helt annat sätt? Tacksam för all hjälp
Eftersom problemtexten bjuder på första steget så är båda dina ansatser OK. Den första är lite närmare axiomen. Har inte sett benämningen ”stark” i detta sammanhang. Däremot att induktion duger som bevis, berorpå att N är välordnad med sin naturliga ordningsrelation. För en välordnad mängd M gäller nämligen: Om
• A är en delmängd av M
• Ix är ett avsnitt av A==> x tillhör A
Då gäller att A=X
En välordnad mängd är en mängd vars alla delmängder har ett minsta element.
Med ett avsnitt Ix ur en välordnad mängd M menas mängden av element m i M sådana att m ”<” x Där ”<” är ordningsrelationen.
Tomten skrev:Eftersom problemtexten bjuder på första steget så är båda dina ansatser OK. Den första är lite närmare axiomen. Har inte sett benämningen ”stark” i detta sammanhang. Däremot att induktion duger som bevis, berorpå att N är välordnad med sin naturliga ordningsrelation. För en välordnad mängd M gäller nämligen: Om
• A är en delmängd av M
• Ix är ett avsnitt av A==> x tillhör A
Då gäller att A=X
En välordnad mängd är en mängd vars alla delmängder har ett minsta element.
Med ett avsnitt Ix ur en välordnad mängd M menas mängden av element m i M sådana att m ”<” x Där ”<” är ordningsrelationen.
Finns några klara fördelar eller nackdelar med att använda den ena formuleringen framför den andra? Min lärare sa att det är tydligast att bara använda k i dina uttryck och beräkningar, för att sedana spara n till det allmänna fallet när påståendet är bevisat.
Ska jag istället skriva det såhär: Anta att formeln är sann för värden 0,1,2,....k-3,k-2,k-1 där k ≥ 3, vill visa att det stämmer för k, ak = 2k
Såg att tråden är skriven på gymnasiet ma 5. Eftersom ditt första alternativ ligger närmare axiomen (notera att ditt intervall 0<=n<=k motsvarar avsnittet Ik+1 i N om du räknar 0 som ett naturligt tal) och det är något som du inte lär möta på länge än, så skulle jag förorda ditt andra alternativ.
Ang din lärares synpunkter på användningen av bokstäver, så skulle jag säga, att det vilar på Pedagisk grund. Det förenklar både för dig som elev att fokusera på att ro beviset i hamn och för läraren som ska rätta. Matematiskt sett kan du använda vilka bokstäver du vill, bara du inte byter mitt i ett bevis.
