Induktioneriet

Hej Daja,

Om vi skulle nöja oss med att bara beräkna $\sqrt{6+\sqrt{6}}$ skulle vi kunna göra det i två steg så här:

$c_0=\sqrt{6}$

$c_1=\sqrt{6+c_0}$

Med n steg blir det

$c_n=\sqrt{6+c_{n-1}}$

Förhoppningsvis har ni bevisat att en växande uppåt begränsad talföljd måste ha ett gränsvärde, $\tau$. Om du kan visa att detta gäller denna vackra talföljd (t.ex. med induktion) innebär det att $c_n\to \tau$ för stora n, samt att $c_n-c_{n-1}\to 0$. Kan du med ledning av detta hitta gränsvärdet $\tau$?

Nej tyvärr.

Jag är inte säker* att jag är med om varför:

$c_n=\sqrt{6+c_{n-1}}$ ? Borde dem inte imbricera som små Legos?

(*euphemism, jag är rätt säker att jag inte förstår...)

Kanske blir det klarare av den här bilden?

$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\underbrace{\sqrt{6+\underbrace{\sqrt{6+\underbrace{\sqrt{6+\underbrace{\sqrt{6}}_{c_0}}}_{c_1}}}_{c_2}}}_{c_3}}}}$

$c_n=\sqrt{6+c_{n-1}}$ är en rekursionsformel som låter oss beräkna nästa tal i talföljden om vi känner till det tal som föregår det. Talföljden blir

$\sqrt6, \sqrt{6+\sqrt{6}},\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6}}},...$ osv

Testa med tre steg

$c_0=\sqrt{6}$

$c_1=\sqrt{6+c_0}$

$c_2=\sqrt{6+c_1}$

Sätter du in talen ser du att du får $\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6}}}$

Okej.  Eftersom jag tyvärr kommer inte på nåt smart att säga just nu, så jag ska bara beundra dina målningar och fundera på innehållet...

Guggle skrev :

Förhoppningsvis har ni bevisat att en växande uppåt begränsad talföljd måste ha ett gränsvärde, $\tau$. Om du kan visa att detta gäller denna vackra talföljd (t.ex. med induktion) innebär det att $c_n\to \tau$ för stora n, samt att $c_n-c_{n-1}\to 0$. Kan du med ledning av detta hitta gränsvärdet $\tau$?

Hej igen,

Det har tyvärr inte klarnat :(

Kan jag snälla få lite mer hjälp med det?

Hej!

Beteckna den "oändliga kvadratroten" med bokstaven $k$.

    $\displaystyle k=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{...}}}.$

Om du kvadrerar detta tal så får du

    $\displaystyle k^2 = 6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{...}}}$

vilket du också kan skriva som

    $\displaystyle k^2 = 6+k$.

Detta är en andragradsekvation som det positiva talet $k$ uppfyller; lös ekvationen för att ta reda på vilket tal det rör sig om. 

dajamanté skrev :

Hej igen,

Det har tyvärr inte klarnat :(

Kan jag snälla få lite mer hjälp med det?

Om vi antar att gränsvärdet existerar så måste $c_n=c_{n-1}=\tau$ då n går mot oändligheten, och vi får ekvationen

$\tau=\sqrt{6+\tau} \Rightarrow \tau=3$

Nu till det jag tror uppgiften handlar om egentligen, induktionsbevis för en övre begränsning. Visa att talföljden $c_n=\sqrt{6+c_{n-1}}\leq 3$ för alla n ($c_0=\sqrt6$).

1. Visa att det gäller för n=1

2. Visa att $c_{p+1}\leq 3$ givet att $c_p\leq 3$

3. Induktionsprincipen ger då att $c_n\leq 3$ för alla n.

Slutligen måste du också bevisa att $c_n$ faktiskt växer, men det behöver ju inte ha med induktion att göra.

Guggle skrev :

dajamanté skrev :

Hej igen,

Det har tyvärr inte klarnat :(

Kan jag snälla få lite mer hjälp med det?

Om vi antar att gränsvärdet existerar så måste $c_n=c_{n-1}=\tau$ då n går mot oändligheten, och vi får ekvationen

$\tau=\sqrt{6+\tau} \Rightarrow \tau=3$

Hmmm nu du menar att du löste det med Albikis ekvation, eller är det självklart?

Nu till det jag tror uppgiften handlar om egentligen, induktionsbevis för en övre begränsning. Visa att talföljden $c_n=\sqrt{6+c_{n-1}}\leq 3$ för alla n ($c_0=\sqrt6$).

1. Visa att det gäller för n=1

2. Visa att $c_{p+1}\leq 3$ givet att $c_p\leq 3$

Jag ska samla modet och göra det imorgon.

3. Induktionsprincipen ger då att $c_n\leq 3$ för alla n.

Slutligen måste du också bevisa att $c_n$ faktiskt växer, men det behöver ju inte ha med induktion att göra.

Tack båda för förklaringar!

dajamanté skrev :

Hmmm nu du menar att du löste det med Albikis ekvation, eller är det självklart?

Alltså, om talföljden $c_n=\sqrt{6+c_{n-1}}$ konvergerar mot ett tal $\tau$ så måste $c_n\approx c_{n-1}$ för stora n, förutsatt att talföljden konvergerar. När $n\to \infty$ ska $c_n=c_{n-1}=\tau$. Ersätter vi $c_n$ och $c_{n-1}$ med $\tau$ får vi ekvationen.

$\tau=\sqrt{6+\tau}$

Denna ekvation har en positiv lösning $\tau=3$.

Om det verkar lite hokuspokus med rekursiva talföljder kan det vara värt att kolla i kurslitteraturen om ni har gått igenom det. Det är inte svårt, men det kan lät bli förvirrande om man inte sett det tidigare. Jag har liksom förutsatt att ni gått igenom det.

Huvudsyftet med denna uppgift är förmodligen att öva induktion och det vore dumt om du fastnar på rekursiva talföljder bara för att Guggle tror att ni har läst om talföljder i samband med induktionsavsnittet :)

Nu till det jag tror uppgiften handlar om egentligen, induktionsbevis för en övre begränsning. Visa att talföljden $c_n=\sqrt{6+c_{n-1}}\leq 3$ för alla n ($c_0=\sqrt6$).

1. Visa att det gäller för n=1

2. Visa att $c_{p+1}\leq 3$ givet att $c_p\leq 3$

Jag ska samla modet och göra det imorgon.

Det är enklare än det verkar :)

Guggle skrev :

dajamanté skrev :

Visa föregående citat

Hmmm nu du menar att du löste det med Albikis ekvation, eller är det självklart?

Alltså, om talföljden $c_n=\sqrt{6+c_{n-1}}$ konvergerar mot ett tal $\tau$ så måste $c_n\approx c_{n-1}$ för stora n, förutsatt att talföljden konvergerar. När $n\to \infty$ ska $c_n=c_{n-1}=\tau$. Ersätter vi $c_n$ och $c_{n-1}$ med $\tau$ får vi ekvationen.

$\tau=\sqrt{6+\tau}$

Denna ekvation har en positiv lösning $\tau=3$.

Om det verkar lite hokuspokus med rekursiva talföljder kan det vara värt att kolla i kurslitteraturen om ni har gått igenom det. Det är inte svårt, men det kan lät bli förvirrande om man inte sett det tidigare. Jag har liksom förutsatt att ni gått igenom det.

Huvudsyftet med denna uppgift är förmodligen att öva induktion och det vore dumt om du fastnar på rekursiva talföljder bara för att Guggle tror att ni har läst om talföljder i samband med induktionsavsnittet :)

Visa föregående citat

Nu till det jag tror uppgiften handlar om egentligen, induktionsbevis för en övre begränsning. Visa att talföljden $c_n=\sqrt{6+c_{n-1}}\leq 3$ för alla n ($c_0=\sqrt6$).

1. Visa att det gäller för n=1

2. Visa att $c_{p+1}\leq 3$ givet att $c_p\leq 3$

Jag ska samla modet och göra det imorgon.

Det är enklare än det verkar :)

Du är helt rätt, den finns i kurslitteratur men vi har inte gått igenom det (och jag har inte hunnit läsa den själv).

Jag ska titta på det imorgon också.

Daja, varför har du fått för dig att uppgiften handlar om induktioneri? Det står ju bara "Vilket är talet [...]?"

God morgon!

@Albiki: det är hela kapitlet som handlar om induktion så jag vet att den här uppgift handlar om induktion. I facit står det bara rätt tal som du säger, och att svaret är 3.

Guggle skrev :

Om vi antar att gränsvärdet existerar så måste $c_n=c_{n-1}=\tau$ då n går mot oändligheten, och vi får ekvationen

$\tau=\sqrt{6+\tau} \Rightarrow \tau=3$

Nu till det jag tror uppgiften handlar om egentligen, induktionsbevis för en övre begränsning. Visa att talföljden $c_n=\sqrt{6+c_{n-1}}\leq 3$ för alla n ($c_0=\sqrt6$).

1. Visa att det gäller för n=1

För $n=1$ har vi:

$\sqrt{6+c_0}=\sqrt{6+\sqrt{6}\approx 2.90680}⩽3$

2. Visa att $c_{p+1}\leq 3$ givet att $c_p\leq 3$

Så vi antar att det gäller för $c_{p}$:

$c_{p=}\sqrt{6+c_{p-1}}⩽3$

Om $c_p\leq 3$:

$c_{p+1=}\sqrt{6+c_p}=\sqrt{6+tal mindre än 3 som bevisats i steg förrut} ⩽\sqrt{9}⩽\sqrt{3}$

Och vi vet att den är begränsad av $c_p$ som försökningsvis bevisas lite senare.

3. Induktionsprincipen ger då att $c_n\leq 3$ för alla n.

Slutligen måste du också bevisa att $c_n$ faktiskt växer, men det behöver ju inte ha med induktion att göra.

Jag har läst i kurslitteratur och ska försöka:

Vi har 

$c_{p+1=}\sqrt{6+c_p}$

${\left(c_{p+1}\right)}^2=6+c_p$

$$\begin{gathered} {\left(c_{p+1}\right)}^2-c_p-6={\left(c_p-6\right)}^2-c_p-6 \\ \iff \\ {x}^2-x-\tau \end{gathered}$$

$x=\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}+\tau }$  är nollställer av en positiv andragradskurva, dvs att den är negativt mellan båda nollställena.

Om vi vill att $c_{p+1}=\sqrt{c_p+6} ⩾c_p$ dvs att $c_p+6⩾{c_p}^2$, den andra gradsfunktion måste vara negativt, dvs att lösningen är begränsad av den övernollställe.

Så ja, det är uppåt begränsad.

Pust vad jobbigt, jag är inte säker att jag kommer att komma ihåg det, men just nu känns det logisk. 

dajamanté skrev :

God morgon!

1. Visa att det gäller för n=1

För $n=1$ har vi:

$\sqrt{6+c_0}=\sqrt{6+\sqrt{6}\approx 2.90680}⩽3$

2. Visa att $c_{p+1}\leq 3$ givet att $c_p\leq 3$

Så vi antar att det gäller för $c_{p}$:

$c_{p=}\sqrt{6+c_{p-1}}⩽3$

Om $c_p\leq 3$:

$c_{p+1=}\sqrt{6+c_p}=\sqrt{6+tal mindre än 3 som bevisats i steg förrut} ⩽\sqrt{9}⩽\sqrt{3}$

 

Bra, nu har du enligt induktionsprincipen visat att talföljden är uppåt begränsad. (Du skriver $\sqrt9\leq \sqrt3$ på slutet men $\sqrt9=3$). En växande uppåt begränsad talföljd har alltid ett gränsvärde. Kan vi visa att talföljden växer har vi alltså visat att gränsvärdet existerar och är 3.

Jag har läst i kurslitteratur och ska försöka:

Vi har 

$c_{p+1=}\sqrt{6+c_p}$

${\left(c_{p+1}\right)}^2=6+c_p$

$$\begin{gathered} {\left(c_{p+1}\right)}^2-c_p-6={\left(c_p-6\right)}^2-c_p-6 \\ \iff \\ {x}^2-x-\tau \end{gathered}$$

$x=\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}+\tau }$  är nollställer av en positiv andragradskurva, dvs att den är negativt mellan båda nollställena.

Jag förstår vad du försöker göra och det är mycket snyggt! Men det du vill visa är att $c_p \leq c_{p+1}$ eller om man så vill $c_p\leq \sqrt{6+c_p}$, dvs

$c_p^2-c_p-6\leq0$

Detta kan mycket riktigt jämföras med en andragradsfunktion f(x) där olikheten är sann om och endast om $f(c_p)\leq0$. Funktionen är negativ mellan dess nollställen $x=-2,\ x=3$, dvs olikheten är uppfylld om och endast om $c_p\in [-2,3]$. Du använde en snygg matematisk idé och kom till rätt slutsats, men jag tycker du slarvade lite med beteckningarna på vägen.

Om jag vågar säga det, jag slarvade inte just nu utan försökte bevisa något med mycket skakiga och osäkra idéer. Det låter som slarv men tyvärr är det bara okompetens!

Hur skull du ha gjort?