Induktion utan likhet

Jag ser ett fel:

$$\begin{gathered} P_{n+1}=3^{(2*(n+1)+1)}+2^{\left(\right(n+1)+2)} \\ {P}_{n+1}\ne 3^{2*\left(\right(n+1)+1)}+2^{\left(\right(n+1)+2)} \end{gathered}$$

Exponenten för 3:an blir lite för stor.

Ok, ändrar det nu. Hur kan man komma vidare?

Jag skulle säga att man letar i ditt uttryck för P_n+1 för att se om du kan hitta P_n på något vis(typiskt att det ingår som en faktor) men jag kan inte hitta det.

Jag har ett facit men hänger inte riktigt med på vad som händer. Jag fattar att de sätter ut 7d för ett helt tal. Sen blir det rörigt.

Ah.

Det de gör är att de utnyttjar att P_n kan uttryckas som 7 gånger ett heltal, ett heltal som de här har satt till c.

$P_n=\left(3^{2n+1}+2^{n+2}\right)=7*c$

Därefter utnyttjar de att om 

$3^{2n+1}+2^{n+2}=7*c$

Så kan man sätta termen med en trea som bas som ett uttryck av de andra talen.

$$\begin{gathered} 3^{2n+1}+2^{n+2}-2^{n+2}=7*c-2^{n+2} \\ {3}^{2n+1}=7*c-2^{n+2} \end{gathered}$$

Sedan räknar de på på samma sätt som du har gjort och istället för att leta efter P_n i  uttrycket för P_n+1 så utnyttjar de att 3²ⁿ⁺¹ ingår i uttrycket och ersätter det med uttrycket ovan. Detta ledde till att de hittade att man kan kombinera två av termerna, och sedan insåg dem att faktorn 7 ingick i samtliga termer, vilket skulle visas.

Om du inte blev klokare av det här är det fritt fram att ställa frågor.

Tack! Hänger med på vad du säger.