Induktion (provfråga)

Nej, jag försöker inte fuska mig igenom universitet, det är bara en övningsprov fråga. Men nu som du har läst det (jag ser dig, Smutso!) du får gärna hjälpa mig med den :D

Såhär tänkte jag:

1. Bas fallen ger (jag förkortar) $\frac{252}{108} < \frac{8}{3} \leftrightarrow 2 + \frac{1}{3} < 2 + \frac{2}{3}$

2. Vi antar att det gäller för $n$ , och nu ska vi bevisa att det faktiskt gäller för $n+1$ .

$\left(1+\frac1{1^3}\right)\left(1+\frac1{2^3}\right)\left(1+\frac1{3^3}\right)....\left(1+\frac1{n^3}\right)\left(1+\frac1{(n+1)^3}\right)<>$

Enligt induktionsantgande har vi redan bevisat att $\left(1+\frac1{1^3}\right)\left(1+\frac1{2^3}\right)\left(1+\frac1{3^3}\right)....\left(1+\frac1{n^3}\right)$ är mindre än $3-\frac{1}{n}$ . Vi ersätter ormen svansen med $3-\frac1n$

$(3 - \frac{1}{n}) (1 + \frac{1}{{(n + 1)}^{3}}) < 3 - \frac{1}{n + 1}$

Vi multiplicerar in i parenteserna:

$3 + \frac{3}{{(n + 1)}^{3}} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n {(n + 1)}^{3}} < 3 - \frac{1}{n + 1}$

Vi multiplicerar allt med respektive nämnaren, förkortar med gemensamma nämnaren, så allt ser bra ut och alla tal minglar:

$3 n (n + 1)^{3} + 3 n - {(n + 1)}^{3} - 1 < 3 n (n + 1)^{3} - 1$

Nu hakar vi bort allt som är överflödig:

$3 n (n + 1)^{3} + 3 n - {(n + 1)}^{3} - 1 < 3 n (n + 1)^{3} - 1 3 n - {(n + 1)}^{3} < 0$

Det ser ut självklart att för alla tal större än tre, uttrycket på VL kommer att bli mindre än noll.

Jag är nöjd med min induktion, men jag känner på mig att det är inte tillräckligt bra för matematiska institution.

Något bättre?

Helt rätt metod. Däremot tycker jag gott du kan vara lite noggrannare med formalian.

Skriv ut explicit vilket basfall det är du visar (n=3).
Det blir lite tydligare om du säger "Antag att det gäller för n=k för något k. Vi ska nu bevisa att det även gäller för n=k+1." Då låter du k vara fixt och n variera, så att inte n både är ett fixt tal och vilket tal som helst större än 3.
Skriv tydligt vad du vill visa och vad du antagit, så att man inte blandar ihop det. "Vi har visat att ..., så det räcker att visa att ...<...", typ.
"Det ser självklart ut" räcker inte på slutet. Visa att det alltid är mindre än noll genom att utveckla parentesen och använda n>3 (eller k då, om du omformulerar det)
Avsluta med att hänvisa till induktionsaxiomet.

Tack haraldfreij!

Jag lovar att skärpa mig på provet.

Vad tycker du om:

$3 n - (n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1) < 0 \leftrightarrow - n^{3} - 3 n^{2} - 1 < 0$

Om vi flyttar allt på andra sidan $0 < n^{3} + 3 n^{2} + 1$ som stämmer för alla positiva $n$ dessvärre (dessbättre?) för alla $n > 3$ . Vi hänvisar till induktionsaxiomet (är det såhär?)

Svara