Induktion problem

Hej! Jag har detta problem idag:

Jag kommer inte fram något vettig. Här kommer min trist försök:

1. Vi bevisar först att det gäller för några basfall:

$1^{3} + 2^{3} = 9 = (1 + 2)^{2} 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} = 36 = (1 + 2 + 3)^{2}$

2. Vi antar att det gäller för n.

$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + . . . . . + n^{3} = (1 + 2 + 3 + . . . . n)^{2} = (\frac{1}{2} n {(n + 1))}^{2}$

3. Om det gäller för n säger vi helt random och provocerande att det gäller för n+1.

$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + . . . . . + n^{3} + {(n + 1)}^{3} = s u m m a n f ö r n + {(n + 1)}^{3} = (1 + 2 + 3 + . . . . n + (n + 1))^{2} = (\frac{1}{2} n (n + 1) + (n + 1))^{2} = (\frac{1}{2} (n^{2} + n) + n + 1)^{2} = (\frac{1}{2} n^{2} + \frac{3}{2} n + 1)^{2}$

4. Vi har inte lyckat bevisa något alls, vi stänger datorn och funderar på meningen med livet trots kraftigt migrän.

edit: jag har bytt kategorin till matte 5 eftersom det tillhör mer matte 5 än en vanligt univ kurs.

Hej!

Du gör rätt, men i steg 3 försök använda det du vet från steg 2. Steg 2 säger ju att $1^{3} + 2^{3} + . . . + n^{3} = {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2}$

Varför inte använda detta när du försöker bevisa att $1^{3} + 2^{3} + . . . + n^{3} + {(n + 1)}^{3} = {(\frac{n (n + 1)}{2} + n + 1)}^{2}$ ?Ersätt $1^{3} + 2^{3} + . . . + n^{3}$ med ${(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2}$ och bevisa istället att ${(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2} + {(n + 1)}^{3} = {(\frac{n (n + 1)}{2} + n + 1)}^{2}$

Kan du forstätta nu?

Aha! Jag tror jag ser nu. Den sista (k+1)^3 måste vara utanför parentesen.

Tackar! Jag måste tyvärr fortsätta imorgon, så jag skriver om jag kan inte lösa ff!

Genom antagandet får vi:

$1^{3} + 2^{3} + . . . + n^{3} = (1 + 2 + . . . + n)^{2}$

Om vi nu vill bevisa för $n+1$ får vi manipulera denna likhet. Om man adderar $(n + 1)^{3}$ på båda sidor får vi ju i alla fall rätt vänsterled:

$1^{3} + 2^{3} + . . . + n^{3} + (n + 1)^{3} = (1 + 2 + . . . + n)^{2} + (n + 1)^{3}$

I högerledet skulle vi ju vilja ha $(1 + 2 + . . . + n + n + 1)^{2}$ . Det hela hänger alltså på att visa:

$(1 + 2 + . . . + n)^{2} + (n + 1)^{3} ≟ (1 + 2 + . . . + n + n + 1)^{2}$

Tror du att du klarar det? (Det blir avsevärt mycket enklare om du använder formeln för summan av talen upp till $n$ , $\frac{n (n + 1)}{2}$ )

Svara

Visa senaste svar