Induktion och rekursion

Du försöker att utveckla talföljden, men det är inte riktigt rätt.  Om $a_{n} = 2 a_{n-1}  + 2$ för alla $n \geq 1$ så måste

$a_{n} = 2a_{n-1} + 2 = 2(2a_{n-2} +2) + 2 = 4a_{n-2} + 2+4 = 4(2a_{n-3}+2) + 2+4 = 8a_{n-3} + 2+4+6 = \ldots$

Kan du försöka gissa fram en kvalificerad formel?

Darth Vader skrev:

Du försöker att utveckla talföljden, men det är inte riktigt rätt.  Om $a_{n} = 2 a_{n-1}  + 2$ för alla $n \geq 1$ så måste

$a_{n} = 2a_{n-1} + 2 = 2(2a_{n-2} +2) + 2 = 4a_{n-2} + 2+4 = 4(2a_{n-3}+2) + 2+4 = 8a_{n-3} + 2+4+6 = \ldots$

Kan du försöka gissa fram en kvalificerad formel?

En formel som följden 2, 4, 6 är t.e.x 2n + 2 och sedan en summa formel av talföljden har jag fått till $\frac{n(2n + 2)}{2}$. Men hur fick du fram nummer 6 från $4(2a_{n-3}+ 2) + 2 + 4$? Jag är lite osäker om denna formel är vad jag söker.

12paul123 skrev:

Darth Vader skrev:

Du försöker att utveckla talföljden, men det är inte riktigt rätt.  Om $a_{n} = 2 a_{n-1}  + 2$ för alla $n \geq 1$ så måste

$a_{n} = 2a_{n-1} + 2 = 2(2a_{n-2} +2) + 2 = 4a_{n-2} + 2+4 = 4(2a_{n-3}+2) + 2+4 = 8a_{n-3} + 2+4+6 = \ldots$

Kan du försöka gissa fram en kvalificerad formel?

En formel som följden 2, 4, 6 är t.e.x 2n + 2 och sedan en summa formel av talföljden har jag fått till $\frac{n(2n + 2)}{2}$. Men hur fick du fram nummer 6 från $4(2a_{n-3}+ 2) + 2 + 4$? Jag är lite osäker om denna formel är vad jag söker.

Oj, my bad! Såklart ska det vara $8a_{n-3} + 2 + 4 + 8$! Men hur skulle du beräkna summan $2+4+8+ \ldots + 2^{n}$?

Darth Vader skrev:

12paul123 skrev:

Visa föregående citat

Darth Vader skrev:

Du försöker att utveckla talföljden, men det är inte riktigt rätt.  Om $a_{n} = 2 a_{n-1}  + 2$ för alla $n \geq 1$ så måste

$a_{n} = 2a_{n-1} + 2 = 2(2a_{n-2} +2) + 2 = 4a_{n-2} + 2+4 = 4(2a_{n-3}+2) + 2+4 = 8a_{n-3} + 2+4+6 = \ldots$

Kan du försöka gissa fram en kvalificerad formel?

En formel som följden 2, 4, 6 är t.e.x 2n + 2 och sedan en summa formel av talföljden har jag fått till $\frac{n(2n + 2)}{2}$. Men hur fick du fram nummer 6 från $4(2a_{n-3}+ 2) + 2 + 4$? Jag är lite osäker om denna formel är vad jag söker.

Oj, my bad! Såklart ska det vara $8a_{n-3} + 2 + 4 + 8$! Men hur skulle du beräkna summan $2+4+8+ \ldots + 2^{n}$?

Då har jag fått en formel $2(2^n-1)$. Men hur skulle jag kunna fortsätta nu då?

12paul123 skrev:

Darth Vader skrev:

Visa föregående citat

12paul123 skrev:

Darth Vader skrev:

Du försöker att utveckla talföljden, men det är inte riktigt rätt.  Om $a_{n} = 2 a_{n-1}  + 2$ för alla $n \geq 1$ så måste

$a_{n} = 2a_{n-1} + 2 = 2(2a_{n-2} +2) + 2 = 4a_{n-2} + 2+4 = 4(2a_{n-3}+2) + 2+4 = 8a_{n-3} + 2+4+6 = \ldots$

Kan du försöka gissa fram en kvalificerad formel?

En formel som följden 2, 4, 6 är t.e.x 2n + 2 och sedan en summa formel av talföljden har jag fått till $\frac{n(2n + 2)}{2}$. Men hur fick du fram nummer 6 från $4(2a_{n-3}+ 2) + 2 + 4$? Jag är lite osäker om denna formel är vad jag söker.

Oj, my bad! Såklart ska det vara $8a_{n-3} + 2 + 4 + 8$! Men hur skulle du beräkna summan $2+4+8+ \ldots + 2^{n}$?

Då har jag fått en formel $2(2^n-1)$. Men hur skulle jag kunna fortsätta nu då?

Helt riktigt! Kan du se något mönster bland $a_{n}$? Skulle du kunna gissa dig fram till något möjligt $a_{n}$? Tanken är att om man har en kvalificerad gissning är det sedan möjligt att visa den med induktion.

Darth Vader skrev:

12paul123 skrev:

Visa föregående citat

Darth Vader skrev:

12paul123 skrev:

Visa föregående citat

Darth Vader skrev:

Du försöker att utveckla talföljden, men det är inte riktigt rätt.  Om $a_{n} = 2 a_{n-1}  + 2$ för alla $n \geq 1$ så måste

$a_{n} = 2a_{n-1} + 2 = 2(2a_{n-2} +2) + 2 = 4a_{n-2} + 2+4 = 4(2a_{n-3}+2) + 2+4 = 8a_{n-3} + 2+4+6 = \ldots$

Kan du försöka gissa fram en kvalificerad formel?

En formel som följden 2, 4, 6 är t.e.x 2n + 2 och sedan en summa formel av talföljden har jag fått till $\frac{n(2n + 2)}{2}$. Men hur fick du fram nummer 6 från $4(2a_{n-3}+ 2) + 2 + 4$? Jag är lite osäker om denna formel är vad jag söker.

Oj, my bad! Såklart ska det vara $8a_{n-3} + 2 + 4 + 8$! Men hur skulle du beräkna summan $2+4+8+ \ldots + 2^{n}$?

Då har jag fått en formel $2(2^n-1)$. Men hur skulle jag kunna fortsätta nu då?

Helt riktigt! Kan du se något mönster bland $a_{n}$? Skulle du kunna gissa dig fram till något möjligt $a_{n}$? Tanken är att om man har en kvalificerad gissning är det sedan möjligt att visa den med induktion.

Jag har hittat en formel. Mellan alla talen gäller en skillnad på 3*2^n och en summations formel av ges av 2(3*2^n - 1)/(2-1). Jag kan ta bort faktorn 2 från 3*2^n så får vi 3*2^n - 2 vilket ger talföljden 1, 4, 10, 22 likt formeln. Tack för hjälpen! Induktionen kan jag rätt så bra men det känns rätt så arbetsamt med att skapa formler från talföljder på detta viset.

Ett mer systematiskt sätt att lösa sådana här problem kan se ut ungefär så.

Först ignorerar man villkoret på a_0.

Sen ignorerar man konstanten.

Så vi börjar med bara $a_n=2a_{n-1}$.

Det är lätt att se och visa att generell lösning ges av $a_n=C\times 2^n$. 

Sedan hittar vi en lösning till rekursionen $a_n=2a_{n-1}-2$. Lite klurigare men man bör kunna se att $a_n=-2$ för alla n är en lösning.

Generell lösning till $a_n=2a_{n-1}-2$

ges då av $a_n=C\times 2^n-2$

Nu använder vi initialvillkoret $a_0=1$

för att härleda C=3 och vi är klara.

Observera likheterna med hur man löser inhomogena linjära differentialekvationer.