Induktion med kongruens

Nu är det här matematik specialisering men det finns ju inte riktigt en sådan grupp här på pluggakuten så får köra matte 5.

"Visa med hjälp av induktion att för varje positivt heltal i gäller antingen $4^{x} \equiv 1 (m o d 5) e l l e r 4^{x} \equiv 4 (m o d 5)$ ."

Induktionsbasen är gjord och det är inga problem.

Antar att påståendet gäller då x=p och försöker använda detta i ett induktionssteg, men fastnar där.

Ovan kan skrivas

$4^x=5n+1$ eller $4^x=5n+4$ för något $n$

Antag det gäller för $x=p$ . Vi skall visa att det gäller då för $x=p+1$

Om $4^x=5n+1$ : $4^{p+1}=4\cdot4^p=4(5n+1)=5\cdot4n+4=5n_1+4$

Om $4^x=5n+4$ : $4^{p+1}=4\cdot4^p=4(5n+4)=5\cdot4n+16=5n_1+5\cdot3+1=5(n_1+3)+1=5n_2+1$

Därmed är det visat.

Tack!!

@trinity2 kan du förklara steg 2, hur gjorde du?

Svara

Visa senaste svar