Induktion - hittar ej felet

Hej,

Kan inte hitta felet jag gör här. Är medveten om att jag kan använda summaformeln men vill helst låta bli och lösa såhär:

Visa summaformeln $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{1 + 2 + . . . + k} = \frac{2 n}{n + 1}$ för alla positiva heltal n.

Bas

p(1): $V L = \frac{1}{1} = 1 = \frac{2 \times 1}{1 + 1} = H L$

p(2): $V L = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} = \frac{2 \times 2}{2 + 1}$

Antagande

p(r): $V L_{r} = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} + . . . + \frac{1}{r} = \frac{2 r}{r + 1} = H L_{r}$

Induktion

p(r+1): $V L_{r + 1} = V L_{r} + \frac{1}{r + 1} = H L_{r} + \frac{1}{r + 1} = \frac{2 r}{r + 1} + \frac{1}{r + 1} = \frac{2 r + 1}{r + 1} .$

Samtidigt måste $\frac{2 r + 1}{r + 1}$ vara lika med $\frac{2 (r + 1)}{(r + 1) + 1} = \frac{2 r + 2}{r + 2}$ ,men när jag utvecklar dessa termer blir det inte lika.

Vänsterledet i ditt induktionsantagande är fel. Jämför det med uttrycket för p(2) - det stämmer inte.

Tack.

Vänsterledet i antagandet ska alltså vara

p(r): $V L_{r} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1 + 2} + . . . + \frac{1}{1 + 2 + . . . + r}$ och det verkar som jag måste använda summaformeln trots allt. Ska man posta sin lösning?

Svara