Induktion, geometrisk summa

Jag har problem med en uppgift där jag ska beräkna ∑((2^k+1)/3^k), k=0, n=20. Jag har testat att använda formeln för geometrisk summa a(1-r^n)/(1-r) efter att ha delat upp talet och lösa ∑((2/3)^k) + ∑((1/3)^k) men mitt svar stämmer inte överens med bokens facit. Jag får a genom att sätta k=1 och r genom att först beräkna a2 (k=2) och a1 (k=1) och sedan ta a2/a1. n=21 då vi går från 0 till 20. Någon som har lust att hjälpa?

Hej Bobo123 och välkommen till Pluggakuten.

Du vill beräkna $\sum_{k=0}^{20}\frac{2^k+1}{3^k}$

$\sum_{k=0}^{20}\frac{2^k+1}{3^k}=\sum_{k=0}^{20}\left(\frac{2}{3}\right)^k+\sum_{k=0}^{20}\left(\frac{1}{3}\right)^k$

Du har förmodligen en formel för en geometrisk summa som ser ut ungefär såhär:

$\sum_{k=0}^{n-1}ar^{k}=a \frac{1-r^n}{1-r}$

Låt a=1 och n=21 så får du

$\sum_{k=0}^{20}\left(\frac{2}{3}\right)^k=\frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{21}}{1-\frac{2}{3}}$

$\sum_{k=0}^{20}\left(\frac{1}{3}\right)^k=\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{21}}{1-\frac{1}{3}}$

Tack :)

Svara