Induktion, förstår ej lärarens lösning

Det här:

är inte att något "brutits ut", utan snarare "bytts ut". Notera att det är en olikhet här. $\sqrt{p+1}$ byts mot det mindre talet $\sqrt{p}$, och därmed är högra ledet mindre än vänstra (eller lika med, om p=0).

Okej och det är för att det är en olikhet och höger sida om olikhetstecknet ska vara mindre/lika med den vänstra sidan om VL $\ge$ HL? 

Förstår mig inte riktigt på hur man kan bara byta ut det.

Det är nog för att du är lite låst vid ekvationslösnings-tänket. I ekvationer måste man vara superförsiktig eftersom resonemanget är "A, som är lika med B, vilket är lika med C, ..." och man måste hela tiden balansera på lina för att dessa likhetspåståenden ska stämma hela vägen. Ett "byte" av en grej mot en annan blir då känsligt, för vi måste byta mot något som är helt likvärdigt med det vi hade innan.

Men här skapas en olikhet, vilket är betydligt friare. Vi bara bildar ett uttryck som är mindre än det vänstra. Det hade kunnat göras på oändligt många olika sätt, t.ex:

$\dfrac{\sqrt{p}\cdot \sqrt{p+1}+1}{\sqrt{p+1}} \geq \dfrac{\sqrt{p}\cdot \sqrt{p+1}}{\sqrt{p+1}}$

Eller:

$\dfrac{\sqrt{p}\cdot \sqrt{p+1}+1}{\sqrt{p+1}} \geq \dfrac{\sqrt{p}\cdot \sqrt{p+1}+1}{2\sqrt{p+1}}$

Eller:

$\dfrac{\sqrt{p}\cdot \sqrt{p+1}+1}{\sqrt{p+1}} \geq 0$

Och så vidare. Oavsett vilket uttryck du börjar med, säg f(x), kan du alltid bilda en olikhet av det genom att säga  t.ex. f(x) > f(x) - 1. Det svåra är alltså inte "hur" man bildar olikheten, utan hur man hittar rätt olikhet. Poängen med att ställa upp just $\frac{\sqrt{p}\sqrt{p}+1}{\sqrt{p+1}}$ är att förenklingen av det leder till $\sqrt{p+1}$, och det var den undre gränsen man ville få fram.

Okej tack!