Induktion för geometrisk summa

Hej, jag har försökt att bevisa denna geometriska summa med hjälp av induktion:

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{2^{k}} = 2 - \frac{n + 2}{2^{n}}$

Jag fick fel svar enligt facit, och i ett av stegen i facit så skriver de om på ett sätt jag inte förstår:

$2 - \frac{p + 2}{2^{p}} + \frac{p + 1}{2^{p + 1}} = 2 - \frac{2 (p + 2)}{2^{p}} - (- \frac{p + 1}{2^{p + 1}})$

Vilken betydelse har denna omskrivning?

De har skrivit om summan $\sum_{k = 1}^{p + 1} \frac{k}{2^{k}}$ till $\underset{induktionsantagande}{\underset{⏟}{\sum_{k = 1}^{p} \frac{k}{2^{k}}}} + \frac{p + 1}{2^{p + 1}}$ . Detta är ett vanligt knep vid induktion över summor, eftersom det möjliggör att vi använder vårt induktionsantagande. :)

Svara