Induktion

Det du ska bevisa är $a_n$ = $n^2$. Är inte det dina två sidor?

Talföljden definieras av

    $b_n = b_{n-1} + 2$

för $n \geq 1$ där $b_{n} = a_{n}-a_{n-1}$ och $b_1 = 1$.

Det ger $b_2 = 3$ och $b_3 = 5$ och $b_4=7$ och så vidare, det vill säga $b_{n} = 2n-1$.

Det i sin tur medför att $a_{n}= a_{n-1} + 2n-1$ där $a_0 = 0$, vilket ger $a_1 = 1$ och $a_2 = 4$ och $a_3 = 9$ och så vidare, det vill säga $a_n = n^2$.

Med induktion ska du visa att för varje positivt heltal $n$ gäller det att $n^2 = (n-1)^2 + 2n-1.$

Men varför får jag anta att den ena formeln är rätt om jag ska bevisa att den andra är det? Vad skiljer dem åt när jag hittat på båda själv?

Ett annat möjligt alternativ är väl att göra ett induktionsantagande att $a_k=k^2$ för ett heltal $k\geq2$ och att sedan visa att:

$a_{k+1}=(k+1)^2$

med hjälp av rekursionsrelationen:

$a_{k+1}=2a_k-a_{k-1}+2=\underbrace{2k^2-(k-1)^2}_{\text{induktionsantagandet}}+2=...=\left(k+1\right)^2$

Det är dock inte helt glasklart att $a_{k-1}=(k-1)^2$ enbart utifrån det vanliga sättet att utföra ett induktionsbevis, men man kan ju hänvisa till att det går att använda samma induktionsbevis på $a_{k-1}$ hela vägen ner till $a_0$ och $a_1$ som är kända. 

Tror jag fattar. Tack!