Induktion

Om du ska bevisa för alla tal större än noll borde väl första steget vara n=1?

EDIT: Förresten, finns det inga restriktioner på $\theta$? För om $\theta =0$ blir ju nämnaren noll, och då gäller ju inte likheten.

Hej!

Steg 1. Visa att påståendet är sant när n=1.

Steg 2. Anta att påståendet är sant för ett visst n; du vet att det finns ett sådant n (nämligen n=1).

Steg 3. Visa att påståendet är sant för nästa heltal, det vill säga för n+1.

Steg 4. Enligt Induktionsaxiomet är påståendet sant för alla positiva heltal.

Albiki

skrev lite fel det ska vara lika med eller större än 0 vilket gör att n=0

Ja det vet jag men hur? jag skrev ju att jag vet stegen men inte hur man  gör.

Kan du skriva vad VL blir när n = 0? Kan du sedan skriva vad HL blir när n = 0?

Om inte, var får du problem?

$\frac{1}{2}+\cos \theta +\cos 2\theta +...+1=\frac{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle )}{\displaystyle \theta }}{2\sin \left({\displaystyle \frac{\theta }{2}}\right)}$

Detta blir det när jag räknat ut vad V.L och H.L blir 

Filippahn skrev :

$\frac{1}{2}+\cos \theta +\cos 2\theta +...+1=\frac{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle )}{\displaystyle \theta }}{2\sin \left({\displaystyle \frac{\theta }{2}}\right)}$

Detta blir det när jag räknat ut vad V.L och H.L blir 

HL är rätt, men du kan förkorta! Ser du hur?

I VL tror jag att du inte riktigt förstår hur talserien funkar. Så här ska man tolka uttrycket:

n = 0:

$\frac{1}{2}$

n = 1:

$\frac{1}{2}+\cos \theta$

n = 2:

$\frac{1}{2}+\cos \theta +\cos \left(2\theta \right)$

n = 3:

$\frac{1}{2}+\cos \theta +\cos \left(2\theta \right)+\cos \left(3\theta \right)$

Ser du mönstret nu? Och kan du nu skriva HL som du gjorde, men förkortat och VL för n = 0?

så V.L och H.L är detta?

 $\frac{1}{2}=\frac{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle )}{\displaystyle \theta }}{2\sin \left({\displaystyle \frac{\theta }{2}}\right)}$

Filippahn skrev :

så V.L och H.L är detta?

 $\frac{1}{2}=\frac{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle )}{\displaystyle \theta }}{2\sin \left({\displaystyle \frac{\theta }{2}}\right)}$

Nja, jag är övertygad om att parentesen har hamnat fel i täljaren, annars är uppgiften olöslig. HL måste vara:

$$\begin{gathered} \frac{\sin \left({\displaystyle \frac{2n+1}{2}\theta }\right)}{2\sin \left({\displaystyle \frac{\theta }{2}}\right)} \\ och om n = 0 så får man \\ \frac{\sin \left({\displaystyle \frac{2n+1}{2}\theta }\right)}{2\sin \left({\displaystyle \frac{\theta }{2}}\right)}=\frac{\sin \left({\displaystyle \frac{1}{2}\theta }\right)}{2\sin \left({\displaystyle \frac{\theta }{2}}\right)}=\frac{{\displaystyle \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)}}{2\sin \left({\displaystyle \frac{\theta }{2}}\right)}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$