Induktion
Hej!
Jag har väldigt svårt att förstå mig på matematisk induktion.
I min bok finns exemplet att bevisa att 3p > p3 för p>= 4
Där går de igenom olika steg och kommer fram. Men jag förstår inte dem olika stegen. Skulle någon vilja förklara för mig så att jag kan applicera det på exempelvis:
2p > p3 för p>= 10
Jag vet inte hur boken gör, du kan ju jämföra min och bokens lösning. Kanske får du ihop det så du kan visa ditt andra exempel. Jag tror inte det är någon mening med att jag visar det, i så fall lär du dig inget.
Vi ser att 34 = 81 > 64 = 43
så påståendet är sant för p = 4
Välj ett k > 4
Antag att påståendet sant för p = k, dvs
3k > k3
V ska visa att i så fall gäller påståendet även för p = k+1, dvs
3k+1 > (k+1)3
Titta först på vänsterleden. Vi ser att
3k+1 / 3k = 3k+1–k = 3,
så vänsterledet blev 3 gånger så stort när vi gick från k till k+1.
Titta sedan på högerleden. Vi ser att
(k+1)3 / k3 = (k3+3k2+3k+1) / k3 = 1 + 3/k + 3/k2 + 1/k3
Första termen är 1
Andra termen är 3/k som är mindre än 3/4 (eftersom k > 4)
tredje termen är 3/k2 som är mindre än 3/16 (. –”–. )
fjärde termen är mindre än 1/64 (eftersom…)
Så (k+1)3 / k3 är mindre än 1 + 3/4 + 3/16 + 3/64 < 127/64 < 3
Vänsterledet 3k ökar med en faktor 3 när p går från k till k+1
högerledet k3 ökar med en faktor som är mindre än 3 när p går från k till k+1
Så om 3k är större än k3 så måste även 3k+1 vara större än (k+1)3
Nu vet vi att 34 > 43
Då är 35 > 53
och 36 > 63
osv för alla heltal p ≥ 4 (enligt induktionsprincipen, kan man lägga till)
