Induktion.

Hur har du börjat? Får du ta yttre hjälp på denna uppgift?

Om vi kallar n:s siffror för $n=abc...n$, kan vi skriva $n=a·{10}^n+b·{10}^{n-1}+...+m·{10}^1+n·{10}^0$. Vad krävs för att detta tal ska vara delbart med $5^n$? 

Det är ett litet syftningsfel här i uppgiften också, antar jag:

Visa att för alla n≥1 finns det ett n-siffrigt tal T_n med endast udda siffror och som är delbara med 5^n.

Det är väl n som ska vara delbart med $5^n$‚ inte siffrorna i $T_n$?

För att det ska vara delbart med 5^n behöver det vara a*5^n... Ja du har rätt.. förlåt menade att T_n ska vara delbart med 5^n.

Givet rubriken antar jag att du ska använda dig av ett induktionsbevis? I sådant fall, om vi tar basfallet $n=1$:

$n=1$ ger att $T_1$ ska vara ett ensiffrigt tal där alla siffror i talet är udda, och det ska vara delbart med $5^1=5$. $T_1=5$ fungerar finfint. Påståendet är alltså sant för $n=1$. 

Nu ska vi fixa ett induktionsantagande:

Vi antar att för $n=p$ gäller det att det finns ett p-siffrigt tal $T_p$ med endast udda siffror, som är delbart med $5^p$

Nu ska vi försöka visa att om det är sant för $n=p$ är det också sant för $n=p+1$. Du får en början nedan:

Stämmer påståendet för $n=p+1$ givet att det stämmer för $n=p$? Vi kan skriva $T_{p+1}$ som $T_{p+1}=\sum _{i=1}^{p+1}{a}_i·{10}^i$, där alla $a_i$ är udda tal. 

Vad kan vi göra med summaformeln? :)