Induktion

Jag tycker inte jag ser något induktionssteg, utan bara att du antar att olikheten är sann för p+1 också, men det får du inte anta, det är det du ska bevisa.

Använd induktionsantagandet i steg 3 för att skriva om vänsterledet, och se vad det blir i högerledet.

$$\begin{gathered} 3) \frac{1}{1+1}+\frac{2}{2+1}+...+\frac{p+1}{p+2}\le \frac{{(p+1)}^2}{p+2} \\ \frac{1}{1+1}+\frac{2}{2+1}+...+\frac{p+1}{p+2}-\frac{{(p+1)}^2}{p+2}\le 0 \\ \frac{1}{1+1}+\frac{2}{2+1}+...+\frac{p+1-(p^2+2p+1)}{p+2}\le 0 \\ \frac{1}{1+1}+\frac{2}{2+1}+...+\frac{-p(p+1)}{p+2}\le 0 \\ \frac{-p(p+1)}{p+2} \le 0 för p\ge 0 \\ är jag på rätt spår? Jag ser ju att detta blir negativt men för att påståendet ska stämma måste "\frac{1}{1+1}+\frac{2}{2+1}+...+" \le \frac{-p(p+1)}{p+2} \end{gathered}$$

bump

Vi vet att

(1) $\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{p}{p+1} - \frac{p^2}{p+1} \le 0$.

Vi kan kalla vänsterledet för d(p).

Vi vill bevisa att

(2) $\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{p+1}{p+2} - \frac{(p+1)^2}{p+2} \le 0$.

Då skriver vi om så mycket det går av vänsterledet i (2) genom att använda (1). Vi vill bevisa

$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{p}{p+1} - \frac{p^2}{p+1} + \frac{p^2}{p+1} + \frac{p+1}{p+2} - \frac{(p+1)^2}{p+2}\le 0$,

dvs.

$d(p) + \frac{p^2}{p+1} + \frac{p+1}{p+2} - \frac{(p+1)^2}{p+2} \le 0$.

Så om vi kan bevisa att det som står efter d(p) också är $\le 0$ så är vi framme.

tack.