Induktion

Okej, har inte läst matematik på 10år och har nu börjat studera igen. Så hjälp mig, förstår inte mycket av denna uppgift.

Antag att {fi}∞i=0 är Fibonaccitalföljden, dvs
f0 = 0, f1 = 1 och fn+2 = fn+1 + fn, n ≥ 0.
Bevisa med induktion att

$\sum_{i = 1}^{N} f i^{2} = f N f N + 1$
för varje N ≥ 1.

Jag antar ju att jag ska börja med ett bassteg för att kolla påståendet och sedan göra ett induktionssteg?

Ja, det stämmer! Börja med ett basfall. Sedan antar du att påståendet är sant för N = k. Därefter använder du ditt antagande för att visa att om det påståendet är sant för N = k, är det också sant för N = k + 1. :)

Okej nu har jag kommit såhär långt, ser det vettigt ut och hur ska jag nu fortsätta med beviset?

$B a s s t e g : p å s t å e n d e t g ä l l e r f ö r N = 1 o c h N = 2 f 0 = 0^{2} = 0 * 0 + 1 = 1 S t ä m m e r! f 1 = 1^{2} = 1 * 1 + 1 = 2 S t ä m m e r! I n d u k t i o n s a n t a g a n d e : p å s t å e n d e t g ä l l e r f ö r N = K f i^{2 = f K f K + 1} B e v i s : N = K + 1$

Nej, du skall visa att OM antagandet stämmer för N=k så gäller det även för N=k+1.

Hur menar du? Obs att jag inte läst matematik på 10 år så kan behöva grundliga svar :)

Då rekommenderar jag att du repeterar induktionsbevis innan du ger dig på de svårare uppgifterna.

Jo har försökt läsa så grundligt som möjligt och även den kursen jag går tar det på en grundlig nivå men sedan är hemuppgifterna plötsligen omöjliga...

Hej Ciilon,

Du vill visa att

$\displaystyle\sum_{i=1}^{N} f_i^2 = f_{N+1}^2.$

Steg 1. Visa att påstående gäller då $N=1.$

Påståendet är att $f_1^2 = f_2^2$ vilket stämmer eftersom $f_1 = 1$ och $f_2 = 1.$

Steg 2. Anta att påståendet stämmer då $N=n.$

Påståendet är att

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f_i^2 = f_{n+1}^2.$

Steg 3. Visa att påståendet är sant för nästa heltal $N=n+1.$

Du ska visa att $\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}f_i^2 = f_{n+2}^2.$

Steg 4. Enligt Induktionsaxiomet är påståendet sant för alla positiva heltal.

Tack!

Svara

Visa senaste svar