Induktion

Uppgiften lyder såhär: Använd induktion för att visa att $\sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{k + 1} ⩽ \frac{n^2}{n + 1}$ där n $\in ℤ$

Jag gjorde såhär:

1) formeln gäller för n=1

Vl: $\frac{1}{2}$

Hl: $\frac{1^²}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

n=2 ger Vl: $\frac{2}{3}$

Hl: $\frac{4}{3}$

2) antagande: gäller för n=p

$\sum_{k = 1}^{p} \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + . . + \frac{k}{k + 1} ⩽ \frac{p^2}{p + 1}$

3) påstående: formeln gäller för n= p+1

$\sum_{k = 1}^{p + 1} \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + . . . + \frac{k}{k + 1} ⩽ \frac{(p + 1)^2}{p + 2}$

bevis

VL: $\sum_{k = 1}^{p + 1} \frac{k}{k + 1} = \sum_{k = 1}^{p} \frac{k}{k + 1} + \frac{p + 1}{p + 2}$

= $\frac{p^2}{p + 1} + \frac{p + 1}{p + 2}$

= $\frac{p^2 (p + 2) + (p + 1) (p + 1)}{(p + 1) (p + 2)}$

Mer än det kommer jag inte. Hur ska jag göra sen? 🙄

Det återstår att visa, att uttrycket på näst sista formelraden (och den ska väl inledas med ≤ ? )
är mindre än eller lika med ((p+1)^2)/(p+2). Gör det.

Aaa precis, det ska vara $\leq$ .

När jag förenklar uttrycken i vänster led så får jag det $\frac{p^2 (p + 2) + (p + 1)^2}{(p + 1) (p + 2)}$ , men det är inte mindre än högerledet. Har jag gjort fel?

I facit gjorde de helt annorlunda. De flyttade på det som står i högerledet till vänsterledet.

petti skrev:
Aaa precis, det ska vara $\leq$ .
När jag förenklar uttrycken i vänster led så får jag det $\frac{p^2 (p + 2) + (p + 1)^2}{(p + 1) (p + 2)}$ , men det är inte mindre än högerledet. Har jag gjort fel?

För $p \geq 0$ gäller det.

petti skrev:
Aaa precis, det ska vara $\leq$ .
När jag förenklar uttrycken i vänster led så får jag det $\frac{p^2 (p + 2) + (p + 1)^2}{(p + 1) (p + 2)}$ , men det är inte mindre än högerledet. Har jag gjort fel?

Det är mindre än högerledet $\frac{{(p + 1)}^{2}}{p + 2}$ från ditt 3) påstående. Sätt in dessa två i ekvationen $V L \leq H L$ och förenkla så ser du det.

Tack!!!

Svara

Visa senaste svar