Induktion

Har problem med en uppgift som ska lösas mha induktion. Egentligen räcker säkert matte-5 kunskaper men eftersom uppgiften är från en universitetskurs lägger jag den här ändå.

Låt $\{a_{n}\}$ (n går från 1 till oändligheten) vara en reell talföljd som uppfyller $a_{i + j} \leq a_{i} + a_{j}$ för alla positiva heltalsindex i och j. Visa att $\sum_{i = 1}^{n} \frac{a_{i}}{i} \geq a_{n}$ för alla positiva heltal n.

Jag har försökt lösa det med induktion genom att använda $\sum_{1}^{n + 1} \frac{a_{i}}{i} \geq a_{n} + \frac{a_{n + 1}}{n + 1}$ men det blir inte helt lyckat. Tex går det inte att använda $a_{n} + a_{1} \geq a_{n + 1}$ eftersom den högra termen inte är större än eller lika med a1.

Om du kan visa att $a_n \geq 0$ så följer det omdelbart att $a_n + \frac{a_{n+1}}{n+1} \geq \frac{a_{n+1}}{n+1}.$

Ja, men jag vill ju visa att ditt vänsterled är större än $a_{n + 1}$

Just det ja. Det gäller ju att $na_n+a_n+a_{n+1}\geq na_n+a_{2n+1}.$ Om du kan visa att $na_n+a_{2n+1}\geq (n+1)a_{n+1}$ så är beviset klart.

Jag har svårt att se någon bra uppskattning för att lyckas visa olikheten. Man kan ju skriva om den som $a_{2 n + 1} \geq a_{n + 1} + n (a_{n + 1} - a_{n})$ , men att sedan uppskatta högerledet som $H L \leq a_{n + 1} + n * a_{1}$ blir en allt för dålig uppskattning. Ett alternativ skulle kunna vara att uppskatta vänsterledet(i din senaste post) med $V L \geq a_{{(n + 1)}^{2}}$ men det blir också för dåligt eftersom man kan göra samma uppskattning för högerledet.

Svara

Visa senaste svar