Induktion
Hej!
Uppgiften lyder:
Mitt försök på a):
n = 1 => VL = (1 + 1)^2 = 4, HL = 1 + 1^2 = 2, (VL > HL), dvs formeln gäller för n = 1
Antagande (formeln gäller för n = p): (1 + p)^2 ≥ 1 + p^2
Påstående (formeln gäller för n = p): (1 + (p + 1))^2 ≥ 1 + (1 + p)^2
Bevis: VL = (1 + (p + 1))^2 = 1^2 + 2*(p + 1) + (p + 1)^2
Enligt antagandet är (p + 1)^2 ≥ 1 + p^2:
VL = 1^2 + 2*(p + 1) + (p + 1)^2 ≥ 1 + 2p + 2 + 1 + p^2 = p^2 + 2p + 4 ≠ HL ???
( VL ≠ HL) V.S.V. ??
Så varför blir det fel???
Mitt försök i b):
Lyckas inte lösa uppgiften då jag inte förstår a) ?
Du vill visa VL>=HL, inte VL=HL.
Henrik Eriksson skrev :Du vill visa VL>=HL, inte VL=HL.
Det skulle vara sant OM man INTE använder antagandet på följande sätt:
Enligt antagandet är (p + 1)^2 ≥ 1 + p^2:
VL = 1^2 + 2*(p + 1) + (p + 1)^2 ≥ 1 + 2p + 2 + 1 + p^2 = p^2 + 2p + 4 ≠ HL
Då man får redan en olikhet ≥ som betyder att uttrycket efter ≥ MÅSTE väl vara lika med HL det vill säga att det BORDE se ut såhär:
VL = 1^2 + 2*(p + 1) + (p + 1)^2 ≥ 1 + (1 + p)^2 = HL (VL ≥ HL) !
Precis, släng bort korstermen så får du ett mindre tal som blir HL. Det känns som en ordentlig omväg att visa detta med induktion, men det är väl en övning antar jag.
Dr. G skrev :Precis, släng bort korstermen så får du ett mindre tal som blir HL. Det känns som en ordentlig omväg att visa detta med induktion, men det är väl en övning antar jag.
Vad menar du med korsterm? Hur får jag att HL verkligen är lika med HL som i uppgiften?
Byt ut p^2 + 2p + 4 ≠ HL mot p^2+2p+4>p^2+2p+2=HL.
Henrik Eriksson skrev :Byt ut p^2 + 2p + 4 ≠ HL mot p^2+2p+4>p^2+2p+2=HL.
Men jag ska ju bevisa UTIFRÅN VL att VL ≥ HL?
Det ska väl vara så att VL = 1^2 + 2*(p + 1) + (p + 1)^2 ≥ 1 + 2p + 2 + 1 + p^2 MÅSTE vara lika med HL för att VL ≥ HL ?
VL = 1^2 + 2*(p + 1) + (p + 1)^2 ≥ 1 + 2p + 2 + 1 + p^2 = p^2 + 2p + 4 >p^2+2p+2=HL.
Henrik Eriksson skrev :VL = 1^2 + 2*(p + 1) + (p + 1)^2 ≥ 1 + 2p + 2 + 1 + p^2 = p^2 + 2p + 4 >p^2+2p+2=HL.
Så om VL = x + 1 och HL = x där x = 1, 2, 3, ... så skulle man alltså "visa" att VL ≥ HL genom att skriva:
VL = x + 1 ≥ x = HL (VL ≥ HL) V.S.V.
Låter hemskt :(
Varför är det hemskt?
Dr. G skrev :Varför är det hemskt?
För att jag inte har visat någonting då jag utgick från HL istället för att fortsätta med VL hela vägen
Du utgår från VL = x + 1. Ta bort 1 så får du något mindre, VL = x + 1 > x, d.v.s VL > x.
Nu är ju x samma sak som ditt HL, så då kan du skriva
VL = x + 1 > x = HL, d.v.s vi har visat att VL > HL.
Dr. G skrev :Du utgår från VL = x + 1. Ta bort 1 så får du något mindre, VL = x + 1 > x, d.v.s VL > x.
Nu är ju x samma sak som ditt HL, så då kan du skriva
VL = x + 1 > x = HL, d.v.s vi har visat att VL > HL.
Så om man kör på detta tankesätt i b) så får man:
n = 4 => VL = 4^2 = 16, HL = 2^4 = 16, (VL ≤ HL), dvs formeln gäller för n = 4.
Antagande (formeln gäller för n = p): p^2 ≤ 2^p
Påstående (formeln gäller för n = p + 1): (p + 1)^2 ≤ 2^(p+1)
Bevis: p^2 + 2p + 1 ≤ 2^(p)*2 <=> 2^p + 2p + 1 ≤ 2*2^p <=> 2p + 1 ≤ 2^p (vem som helst förstår väl att då p = 4, 5, 6, ... så kommer VL < HL)
V.S.V. ???
Varför förstår vem som helst detta? Tips: De vet redan att p^2<=2^p så det räcker att visa 2p+1<=p^2 för p=4,5,6,...
Henrik Eriksson skrev :Varför förstår vem som helst detta? Tips: De vet redan att p^2<=2^p så det räcker att visa 2p+1<=p^2 för p=4,5,6,...
1. Jag förstår inte varför man inte skulle kunna komma fram till att 2*4 + 1 ≤ 2^4 och att då måste det betyda att om man använder en exponent större än 4 så kommer fortfarande VL ≤ HL.
2. Jag förstår inte ditt tips
1. Förklara varför det skulle vara så! "Jag förstår inte varför man inte skulle kunna komma fram till" är ingen förklaring.
2. Du vet p^2<=2^p. Om du kan visa 2p+1<p^2 så följer alltså 2p + 1 ≤ 2^p. Du vill alltså visa p^2-2p>1, dvs p(p-2)>1 för p=4,5,...
Henrik Eriksson skrev :1. Förklara varför det skulle vara så! "Jag förstår inte varför man inte skulle kunna komma fram till" är ingen förklaring.
2. Du vet p^2<=2^p. Om du kan visa 2p+1<p^2 så följer alltså 2p + 1 ≤ 2^p. Du vill alltså visa p^2-2p>1, dvs p(p-2)>1 för p=4,5,...
1. Samma tankesätt som a) uppgiften med att använda HL när man egentligen undersöker VL så borde inte det vara konstigare att dra en logisk slutsats att 2p + 1 ≤ 2^p kommer inte att skära varandra då induktionsbasen visar ju att VL är 9 och HL är 16 och då HL är en potensfunktion kommer den då att öka mer än den linjära funktionen 2p + 1.
2. Hur kan man visa att p(p-2) > 1 när det är så självklart att det är det då p är minst 3 dvs större än p-koordinaten för nollstället för andragradare?
Kombinatorik skrev :Hej!
Uppgiften lyder:
n = 1 => VL = (1 + 1)^2 = 4, HL = 1 + 1^2 = 2, (VL > HL), dvs formeln gäller för n = 1
Antagande (formeln gäller för n = p): (1 + p)^2 ≥ 1 + p^2
Påstående (formeln gäller för n = p): (1 + (p + 1))^2 ≥ 1 + (1 + p)^2
Bevis: VL = (1 + (p + 1))^2 = 1^2 + 2*(p + 1) + (p + 1)^2
Enligt antagandet är (p + 1)^2 ≥ 1 + p^2:
VL = 1^2 + 2*(p + 1) + (p + 1)^2 ≥ 1 + 2p + 2 + 1 + p^2 = p^2 + 2p + 4 ≠ HL ???
( VL ≠ HL) V.S.V. ??
Så varför blir det fel???
Mitt försök i b):
Lyckas inte lösa uppgiften då jag inte förstår a) ?
Hej!
För uppgift a) får du HL = Sedan glömmer du helt bort att det finns något som kallas Kvadreringsregeln (som du använde på samma rad!). Om du hade kommit ihåg regeln så hade du skrivit och det enda som återstått för dig var att konstatera att för att kunna skriva V.S.V.
För övrigt är olikheten samma sak som olikheten , vilket är självklart sant för positiva heltal. (Det går även att visa med induktion, men det är ganska löjligt.)
Albiki
Hej!
Det ska stå att olikheten är samma sak som olikheten för positiva heltal. Att använda indunktion för att bevisa att om heltalet är löjligt.
Albiki
1 "Det borde inte vara konstigt" är inget bevis.
2 Varför tycker du att det är självklart att p(p-2)>1 när p>=3? Förklara det så har du bevisat saken! Att säga att du tycker att något är självklart är inget bevis.
Albiki skrev :Kombinatorik skrev :Hej!
Uppgiften lyder:
n = 1 => VL = (1 + 1)^2 = 4, HL = 1 + 1^2 = 2, (VL > HL), dvs formeln gäller för n = 1
Antagande (formeln gäller för n = p): (1 + p)^2 ≥ 1 + p^2
Påstående (formeln gäller för n = p): (1 + (p + 1))^2 ≥ 1 + (1 + p)^2
Bevis: VL = (1 + (p + 1))^2 = 1^2 + 2*(p + 1) + (p + 1)^2
Enligt antagandet är (p + 1)^2 ≥ 1 + p^2:
VL = 1^2 + 2*(p + 1) + (p + 1)^2 ≥ 1 + 2p + 2 + 1 + p^2 = p^2 + 2p + 4 ≠ HL ???
( VL ≠ HL) V.S.V. ??
Så varför blir det fel???
Mitt försök i b):
Lyckas inte lösa uppgiften då jag inte förstår a) ?
Hej!
För uppgift a) får du HL = Sedan glömmer du helt bort att det finns något som kallas Kvadreringsregeln (som du använde på samma rad!). Om du hade kommit ihåg regeln så hade du skrivit och det enda som återstått för dig var att konstatera att för att kunna skriva V.S.V.
För övrigt är olikheten samma sak som olikheten , vilket är självklart sant för positiva heltal. (Det går även att visa med induktion, men det är ganska löjligt.)
Albiki
Om du syftar på denna rad:
VL = 1^2 + 2*(p + 1) + (p + 1)^2 ≥ 1 + 2p + 2 + 1 + p^2 = p^2 + 2p + 4 ≠ HL
Så utvecklade jag aldrig (p + 1)^2 med Kvadreringsregeln medvetet då jag använder mig av antagandet som säger ju att (p + 1)^2 ≥ 1 + p^2.
Så kan du förklara varför det är fel att använda antagandet enligt induktionsprincipen?
Hej!
Om så är , så olikheten stämmer i detta fall.
Om för något heltal , kan man då dra slutsatsen att ?
Notera att
Men eftersom så är (varför?) vilket ger att
V.S.V.
Albiki
Albiki skrev :Notera att
Hur fick du denna olikhet och varför använder du den?
Henrik Eriksson skrev :1 "Det borde inte vara konstigt" är inget bevis.
2 Varför tycker du att det är självklart att p(p-2)>1 när p>=3? Förklara det så har du bevisat saken! Att säga att du tycker att något är självklart är inget bevis.
1. Det är heller inget bevis att blanda VL med HL (om du inte kan visa mig en regel som säger det).
2. För att jag stoppar in 3 i p(p - 2) så blir svaret större än 1 och eftersom andragradaren endast har två vertexpunkter (p = 0 och p = 2) så kan man dra slutsatsen att om p = 3 ger större värdemängd än 1 så kommer det att fortsätta så enligt derivata .....
1. Ge ett exempel på där du tycker att någon här har "blandat" leden. Man har utgått från VL, eventuellt gjort det mindre, använt induktionsantagandet och hamnat på HL.
2. Vilket är det minsta värde som p(p - 2) kan anta om p <= 3?
Dr. G skrev :1. Ge ett exempel på där du tycker att någon här har "blandat" leden. Man har utgått från VL, eventuellt gjort det mindre, använt induktionsantagandet och hamnat på HL.
2. Vilket är det minsta värde som p(p - 2) kan anta om p <= 3?
1. Trots att man skriver om termen enligt antagandet (p + 1)^2 ≥ 1 + p^2 så måste man fortsätta använda ännu en olikhet ">" för att få att
VL = 1^2 + 2*(p + 1) + (p + 1)^2 ≥ 1 + 2p + 2 + 1 + p^2 = p^2 + 2p + 4 > HL (VL ≥ > HL)
Istället för att få
VL = 1^2 + 2*(p + 1) + (p + 1)^2 ≥ 1 + (1 + p)^2 = HL (VL ≥ HL)
2. Det är 3 (är det nu bevisat ....) ?
1. Om jag förstår dej rätt tycker du inte att VL>=...>HL är ett bevis för att VL>=HL. Men det är en välkänd egenskap för olikheter att A>B>C medför A>C.
2. Bra, du presterade ett bevis!
Henrik Eriksson skrev :1. Om jag förstår dej rätt tycker du inte att VL>=...>HL är ett bevis för att VL>=HL. Men det är en välkänd egenskap för olikheter att A>B>C medför A>C.
2. Bra, du presterade ett bevis!
1. Du har förstått mig rätt. Men anledningen till det är att Först har jag VL = .... och genom att ersätta termen (1 + p)^2 med hjälp av antagandet: (1 + p)^2 ≥ 1 + p^2
Så lyckas jag få att VL = ... ≥ ....
Då tänker jag att uttrycket "...." måste vara lika med HL för att kunna ersätta "...." med HL och få:
VL = ... ≥ HL, som även går att skriva som (VL ≥ HL)
I vårt fall fick vi att VL = ... ≥ .... > HL, som även går att skriva som (.... > HL) då VL ≥ .... så kan jag ju inte skriva uttrycket "...." istället för VL som om VL = .... och få att VL ≥ HL
Förstår du hur jag tänker?
2. Kan du skriva ner beviset då jag inte känner att jag faktiskt har bevisat något genom responsen jag fick?
1 Som jag skrev gäller A>B>C => A>C och det tror jag att du håller med om.
2 För att jag stoppar in 3 i p(p - 2) så blir svaret större än 1 och eftersom andragradaren endast har två vertexpunkter (p = 0 och p = 2) så kan man dra slutsatsen att om p = 3 ger större värdemängd än 1 så kommer det att fortsätta så enligt derivata .....
Henrik Eriksson skrev :1 Som jag skrev gäller A>B>C => A>C och det tror jag att du håller med om.
2 För att jag stoppar in 3 i p(p - 2) så blir svaret större än 1 och eftersom andragradaren endast har två vertexpunkter (p = 0 och p = 2) så kan man dra slutsatsen att om p = 3 ger större värdemängd än 1 så kommer det att fortsätta så enligt derivata .....
1. Ja, jag håller med om det. Men jag kan inte säga att det är samma sak (se mitt senaste inlägg).
1 Så här skrev du: (.... > HL) då VL ≥ .... så kan jag ju inte - - - få att VL ≥ HL. Men du har ju VL>=...>HL och då följer VL>=HL.
Henrik Eriksson skrev :1 Så här skrev du: (.... > HL) då VL ≥ .... så kan jag ju inte - - - få att VL ≥ HL. Men du har ju VL>=...>HL och då följer VL>=HL.
Men Påståendet säger ju att (1 + (p + 1))^2 ≥ 1 + (1 + p)^2 dvs (VL ≥ HL) då kan man inte säga att (VL ≥ HL) då (1 + (p + 1))^2 ≥ .... > 1 + (1 + p)^2 om inte HL = ....
Kombinatorik skrev :Albiki skrev :Notera att
Hur fick du denna olikhet och varför använder du den?
Induktionsantagandet är att vilket ger den nämnda olikheten. Jag använder induktionsantagandet (olikheten) eftersom jag vill visa att Påståendet är sant för om Påståendet är sant för
"då kan man inte säga att (VL ≥ HL) då (1 + (p + 1))^2 ≥ .... > 1 + (1 + p)^2 om inte HL = ...." Förnekar du alltså att A>B>C => A>C?
Kombinatorik skrev :Albiki skrev :Kombinatorik skrev :Hej!
Uppgiften lyder:
n = 1 => VL = (1 + 1)^2 = 4, HL = 1 + 1^2 = 2, (VL > HL), dvs formeln gäller för n = 1
Antagande (formeln gäller för n = p): (1 + p)^2 ≥ 1 + p^2
Påstående (formeln gäller för n = p): (1 + (p + 1))^2 ≥ 1 + (1 + p)^2
Bevis: VL = (1 + (p + 1))^2 = 1^2 + 2*(p + 1) + (p + 1)^2
Enligt antagandet är (p + 1)^2 ≥ 1 + p^2:
VL = 1^2 + 2*(p + 1) + (p + 1)^2 ≥ 1 + 2p + 2 + 1 + p^2 = p^2 + 2p + 4 ≠ HL ???
( VL ≠ HL) V.S.V. ??
Så varför blir det fel???
Mitt försök i b):
Lyckas inte lösa uppgiften då jag inte förstår a) ?
Hej!
För uppgift a) får du HL = Sedan glömmer du helt bort att det finns något som kallas Kvadreringsregeln (som du använde på samma rad!). Om du hade kommit ihåg regeln så hade du skrivit och det enda som återstått för dig var att konstatera att för att kunna skriva V.S.V.
För övrigt är olikheten samma sak som olikheten , vilket är självklart sant för positiva heltal. (Det går även att visa med induktion, men det är ganska löjligt.)
Albiki
Om du syftar på denna rad:
VL = 1^2 + 2*(p + 1) + (p + 1)^2 ≥ 1 + 2p + 2 + 1 + p^2 = p^2 + 2p + 4 ≠ HL
Så utvecklade jag aldrig (p + 1)^2 med Kvadreringsregeln medvetet då jag använder mig av antagandet som säger ju att (p + 1)^2 ≥ 1 + p^2.
Så kan du förklara varför det är fel att använda antagandet enligt induktionsprincipen?
Det är inte fel att använda induktionsantagadet; det är exakt det man ska göra.
Såhär kan ett induktionsbevis av påståendet se ut.
Steg 1: Påståendet är sant för Detta är sant eftersom
Steg 2: Anta att påståendet är sant för för något
Steg 3: Visa att påståendet är sant för nästa heltal,
Du vill visa att
om du vet att Kvadreringsregeln och Steg 2 (Induktionsantagandet) ger
Notera att enligt Kvadreringsregeln kan man skriva
olikheten kommer från Nu har du visat att
det vill säga att påståendet är sant för
Steg 4: Enligt Induktionsaxiomet är påståendet sant för alla positiva heltal (n).
Albiki skrev :Men eftersom så är (varför?) vilket ger att
Hur kom du fram till det?
Kombinatorik skrev :Albiki skrev :Men eftersom så är (varför?) vilket ger att
Hur kom du fram till det?
Jag skrev (varför?) för att jag vill att du ska bevisa att mitt påstående är sant.
Visa att om så är
Och det har Kombinatorik bevisat så här.
För att jag stoppar in 3 i p(p - 2) så blir svaret större än 1 och eftersom andragradaren endast har två vertexpunkter (p = 0 och p = 2) så kan man dra slutsatsen att om p = 3 ger större värdemängd än 1 så kommer det att fortsätta så enligt derivata .....
Albiki skrev :Kombinatorik skrev :Albiki skrev :Men eftersom så är (varför?) vilket ger att
Hur kom du fram till det?
Jag skrev (varför?) för att jag vill att du ska bevisa att mitt påstående är sant.
Visa att om så är
1. Så menar du att jag ska argumentera med den minsta värdemängden (då p = 4) så får vi att VL = 16 och HL = 9 (VL ≥ HL) och då (p^2)' ≥ (1 + 2p)' <=> 2p ≥ 2 för p = 4,5,6,... så är det bevisat??
2. Hur vet man att man ska använda sig av uttryck som man ska bevisa påvägen att visa den ursprungliga uppgiften som inte har med att bevisa att p^2 ≥ 1 + 2p ??
1. Det är ett bevis av många tänkbara.
2. Man får tänka, pröva olika sätt.
