Inducerad ström i spole av roterande magnetisk dipol i magnetfält

Uppgiften lyder som följande: Härled ett uttryck för V(t), den inducerade spänningen i spolen. Givet är:

där

och

I mitt försök på en lösning fastnar jag i hur jag skall hantera vektorerna $\overset{⇀}{m} (t)$ och $\overset{⇀}{r}$ , och funderar på om jag missat något i min tolkning av uppgiften. Jag tolkar situationen som följande:

Alltså att spolen ligger i zy-planet med sin mittpunkt i ( $x_{0}$ ,0,0), medan den magnetiska dipolen roterar i xy-planet.

Enligt Faradays lag är spänning för vår spole med n varv:

$V (t) = - n (\frac{d ϕ_{B} (t)}{d t})$

där

$ϕ_{B} (t) = \int_{S} B_{m} (r, t) \cdot d A$

Om vi antar att R << $x_{0}$ får vi (eftersom fältet då kan tänkas vara homogent över spolens area):

$ϕ_{B} \approx B_{m} (r, t) \cdot A = B_{m} (r, t) \cdot π R^{2}$

Här tar min förståelse slut, hur går jag vidare med $ϕ_{B}$ som en vektor?, jag vill ju sätta in den i min formel för V(t), ska jag derivera den som en vektor? Går det att ta ut en komponent av B istället för att använda både x och y-komponenten?

Tack!

2fly2cry skrev:
Om vi antar att R << $x_{0}$ får vi (eftersom fältet då kan tänkas vara homogent över spolens area):

$ϕ_{B} \approx B_{m} (r, t) \cdot A = B_{m} (r, t) \cdot π R^{2}$

Det är kanske inte meningen att du ska göra det antagandet.

Flödet är en skalär. Den ska beräknas som integral över spolens area av vektorprodukt av flödestätheten och den orienterade ytan.

Ja, jobbigt!

Pieter Kuiper skrev:
2fly2cry skrev:
Om vi antar att R << $x_{0}$ får vi (eftersom fältet då kan tänkas vara homogent över spolens area):

$ϕ_{B} \approx B_{m} (r, t) \cdot A = B_{m} (r, t) \cdot π R^{2}$

Det är kanske inte meningen att du ska göra det antagandet.

Flödet är en skalär. Den ska beräknas som integral över spolens area av vektorprodukt av flödestätheten och den orienterade ytan.

Ja, jobbigt!

Jo, antagandet var hintad i uppgiften... Hmmm vet inte hur jag tänker vidare.

Jo, men den approximationen gör det ju väldigt mycket enklare: B har ett konstant värde, är överallt i spolen parallellt med den orienterade arean. (Men i så fall blir det kanske samma som om spolen roterar i ett homogent magnetfält? Fast flödet av dipolen skulle kunna ge övertoner.)

Igen: flödet är en skalär.

Pieter Kuiper skrev:
Jo, men den approximationen gör det ju väldigt mycket enklare: B har ett konstant värde, är överallt i spolen parallellt med den orienterade arean. (Men i så fall blir det kanske samma som om spolen roterar i ett homogent magnetfält? Fast flödet av dipolen skulle kunna ge övertoner.)

Igen: flödet är en skalär.

Ok om jag tänker som följande kanske?

1. Det är spolen som roterar i ett homogent magnetfält, detta blir samma som att dipolen roterar rent matematiskt. Flödestätheten är en skalär som för en vinkel $θ = ω t$ ges av:

$ϕ_{B} = B A \cos θ$

där:

B=magnituden av magnetfältet
A=arean av spolen

2. Magnituden av magnetfältet är samma för alla vinklar, om jag sätter $t = 0$ och $r = x_{0}$ får jag magnituden av magnetfältet som:

$B = (\frac{μ_{0} m_{∥} (T_{R})}{2 {x_{0}}^{3}}) e^{- t / T_{2}}$

3. När jag sätter in B,A och $θ$ i formeln för flödestäthet får jag:

$ϕ_{B} (t) = (\frac{μ_{0} m_{∥} (t) R^{2}}{2 {x_{0}}^{3}}) (e^{- t / T_{2}}) (\cos (ω t))$

4. Deriverar jag detta får jag:

$\frac{d ϕ_{B} (t)}{d t} = (\frac{μ_{0} R^{2}}{2 {x_{0}}^{3}}) (m_{∥} (T_{R})) (e^{- t / T_{2}}) (\frac{\cos (ω t) + T_{2} ω \sin (ω t)}{T_{2}})$

Enligt uppgiften är $m_{∥} (T_{R}) = m_{0} (1 - e^{- T_{R} / T_{1}})$

5. Faradays lag ger även $ε (t) = V (t) = - N \frac{d ϕ}{d t}$

Men överstående insatt i den formeln får jag ett uttryck för V(t)

$V (t) = (\frac{- N m_{0} R^{2} μ_{0}}{2 {x_{0}}^{3}}) (1 - e^{- T_{R} / T_{1}}) (e^{- t / T_{2}}) (\frac{\cos (ω t) + T_{2} ω \sin (ω t)}{T_{2}})$

Detta styrks av uppgiften under (om man sätter $t = T_{E}$ ):

Ser allt ut att stämma bra? Tack för hjälpen!

Svara

Visa senaste svar