Indirekta bevis

Om P ⇒ Q och jag bevisar att $\neg Q \Rightarrow \neg P$ är sant, så innebär det att P ⇒ Q är sant.

Vi säger att P: 4a-3a+4 är jämnt då är Q: a är udda.

$\neg$ Q: a är jämnt och $\neg$ P: 4a-3a+4 är udda

Om polynomet är udda när a är jämnt så fattar jag att det innebär att om polynomet är jämnt kommer a alltid vara udda då ett jämnt a aldrig medför ett jämnt polynom.

Det jag undrar är: Visst kan man inte ta för givet att om a är udda (Q) så kommer polynomet att vara jämnt (P), utan det kan vara udda för allt vi vet då vi inte bevisat motsatsen? Om så vore fallet så borde det vara en ekvivalens mellan P och Q. eller? Vi har ju bara bevisat att om a är jämnt så kan polynomet enbart vara udda och ett jämnt polynom aldrig har ett jämnt a och inte att ett udda a alltid medför ett jämnt polynom.

Svårt att formulera tankarna på ett tydligare sätt men hoppas det går att följa den, tack på förhand!

HannaKN skrev:
...

Det jag undrar är: Visst kan man inte ta för givet att om a är udda (Q) så kommer polynomet att vara jämnt (P). ... ?

...

Det stämmer att vi inte kan ta det för givet, helt enkelt eftersom det inte är så.

Uttrycket 4a-3a+4 är ekvivalent med a+4.

Om a nu är ett udda tal så kommer även a+4 att vara ett udda tal (och vice versa)

Om a istället är ett jämnt tal så kommer även a+4 att vara ett jämnt tal (och vice versa)

De samband som alltså gäller är

$P\Rightarrow\neg Q$ och $P\Leftarrow\neg Q$ , dvs $P\Leftrightarrow\neg Q$

Jag hittade bara på något polynom, gäller detta för alla? Det riktiga polynomet var $a^{2} - 2 a + 7$ . Om jag inte har helt fel så blir det olika för dessa två polynom? Reflekterade inte över det när jag tog ett godtyckligt polynom när jag formulerade tråden.

Nej det gäller inte för alla polynom.

Till exempel så är

$2a+1$ alltid udda
$2a+2$ alltid jämnt
$a+2$ jämnt om $a$ är jämn och udda om $a$ är udda.
$a^k$ jämnt om $a$ är jämn och udda om $a$ är udda (om $k$ är ett positivt heltal).
och så vidare.

===========

Det givna polynomet $a^2-2a+7$ kan du skriva om till $a(a-2)+7$ och sedan analysera på följande sätt:

Faktorn $a-2$ är jämn om $a$ är jämn och udda om $a$ är udda.
Termen $a(a-2)$ är därför jämn om $a$ är jämn och udda om $a$ är udda (produkt av två jämna tal är jämnt, produkt av två udda tal är uddaj.
Termen $7$ är alltid udda.

Det betyder att polynomet $a^2-2a+7$ är udda om $a$ är jämn och jämnt om $a$ är udda.

varför är det då inte en ekvivalenspil mellan P och Q, respektive icke-Q och icke-P?

Vad är sammanhanget här?

Om man har ekvivalens så är implikation åt båda håll också sant, så det är inte fel att ha det istället om man bara är intresserad av att titta i en riktning. Om jag vill visa att en sak implicerar en annan så visar jag det och struntar sen i att lägga tid på att testa åt andra hållet.

HannaKN skrev:
varför är det då inte en ekvivalenspil mellan P och Q, respektive icke-Q och icke-P?

Jag antar att det är för att de vill att du ska laborera med just $P\Rightarrow Q$ och $\neg Q\Rightarrow \neg P$ .

Hur lyder uppgiften?

Det är inte uppgiften jag är särskilt intresserad av utan bara tankegången kring indirekta bevis men här e den:

Jag hade inga svårigheter att lösa den utan det var mest för framtida fall eller liknande, men som Micimacko sa så behöver jag inte bry mig om ekvivalens om det ändå inte är det jag är ute efter.

Svara

Visa senaste svar