Indirekt bevis

Om a, b och c är tre på varandra följande heltal och a>1, så är $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1$ inte delbart med 24.

Så här har jag bevisat det:

Låt p vara " $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1$ är inte delbart med 24".

Vi antar nu att $\neg p$ är sant, alltså att $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1$ är delbart med 24.

a, b och c är tre på varandra följande heltal och a>1, d.v.s. att vi kan skriva dessa tre talen som:

$a = k, b = k + 1, c = k + 2$ där $k \in ℕ^k > 1$

Vi sätter in talen i formeln och undersöker om det är delbart med 24:

${(k)}^{2} + {(k + 1)}^{2} + {(k + 2)}^{2} + 1 \Leftrightarrow 3 (k^{2} + 2 k + 2)$

För att 24 ska dela ett tal måste talet innehålla alla primtalsfaktorer som 24 har:

$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$

Men talet $3 (k^{2} + 2 k + 2)$ innehåller inte alla dessa faktorer.

Här har vi motsägelsen!

Därmed har vi visat att p är sant.

Då undrar jag om det här är en korrekt bevisföring? För mig själv låter det helt logiskt!

${(k)}^{2} + {(k + 1)}^{2} + {(k + 2)}^{2} = k^{2} + k^{2} + 1 + 2 k + k^{2} + 4 + 4 k = 3 k^{2} + 6 k + 5$

joculator skrev:
${(k)}^{2} + {(k + 1)}^{2} + {(k + 2)}^{2} = k^{2} + k^{2} + 1 + 2 k + k^{2} + 4 + 4 k = 3 k^{2} + 6 k + 5$

$a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1 = {(k)}^{2} + {(k + 1)}^{2} + {(k + 2)}^{2} + 1$

Vi är helt överens.

.. mummel, mummel, missade +1

Edit: behöver du visa att k^2+2k+2 inte är delbart med 8? (lätt gjort, men ändå)

joculator skrev:
Vi är helt överens.
.. mummel, mummel, missade +1

Edit: behöver du visa att k^2+2k+2 inte är delbart med 8? (lätt gjort, men ändå)

Är det inte på samma sätt som jag gjort för att bevisa talet inte är delbart med 24? Menar att k^2+2k+2 måste ju ha alla primtalsfaktorer som 8 har vilket inte gör det.

Svara

Visa senaste svar