indirekt bevis

Låt n > 0. Bevisa att om n är ett kvadrattal, så är n + 1 inget kvadrattal.

Def: n är ett kvadrattal då n skrivs n = k² för något heltal k.

Om n² $\to$ n +1 $∥$ k²(hittade återigen inte beteckningen för "delare")

n² (P)

n+1 $∦$ k²(Q)

Indirekt bevis:

n+1 $∥$ k²( $\neg Q$ )

n² $(\neg P)$

$\neg Q \to \neg P$

Antag att n = 3

n+ 1= 3 +1= 4 4= 2²

n = 4-1 = 3 $\sqrt{3} ∦ k^{2}$

Men 4 = (-2)(-2)

Jag har inte kommit längre än det här, jag vill bevisa att $\neg Q \to \neg P$ (om påståendet är sant då är $P \to Q$ sant)

Hej,

Den första raden är inte helt korrekt skriven. Jag förslår att du istället skriver följande.

$\displaystyle\forall n \in \mathbb{N}_+\, \exists k \in\mathbb{N}_+\, \left(n=k^2 \implies \nexists m\in\mathbb{N}_+\, (n+1 = m^2)\right).$

För ett indirekt bevis av implikationen använder du den kontrapositiva formen av det logiska uttrycket. Du kan skriva följande.

$\forall n\in\mathbb{N}_+\,\exists k\in\mathbb{N}_+\,\left( \exists m\in\mathbb{N}_+ (n+1=m^2) \implies n\neq k^2\right)$

Albiki skrev:
Hej,
Den första raden är inte helt korrekt skriven. Jag förslår att du istället skriver följande.
$\displaystyle\forall n \in \mathbb{N}_+\, \exists k \in\mathbb{N}_+\, \left(n=k^2 \implies \nexists m\in\mathbb{N}_+\, (n+1 = m^2)\right).$
För ett indirekt bevis av implikationen använder du den kontrapositiva formen av det logiska uttrycket. Du kan skriva följande.
$\forall n\in\mathbb{N}_+\,\exists k\in\mathbb{N}_+\,\left( \exists m\in\mathbb{N}_+ (n+1=m^2) \implies n\neq k^2\right)$

Oj, jag hade inte tänkt på att använda mängder. Räknas den kontrapositiva formen som bevis? Behöver jag inte bygga på resonemanget?

För "delar" brukar det gå bra med "vertical bar", som t o m är ett ASCII-tecken, så det finns alltid tillgängligt (men ibland har det ett hål i mitten): |

Nichrome skrev:
Albiki skrev:
Hej,
Den första raden är inte helt korrekt skriven. Jag förslår att du istället skriver följande.
$\displaystyle\forall n \in \mathbb{N}_+\, \exists k \in\mathbb{N}_+\, \left(n=k^2 \implies \nexists m\in\mathbb{N}_+\, (n+1 = m^2)\right).$
För ett indirekt bevis av implikationen använder du den kontrapositiva formen av det logiska uttrycket. Du kan skriva följande.
$\forall n\in\mathbb{N}_+\,\exists k\in\mathbb{N}_+\,\left( \exists m\in\mathbb{N}_+ (n+1=m^2) \implies n\neq k^2\right)$
Oj, jag hade inte tänkt på att använda mängder. Räknas den kontrapositiva formen som bevis? Behöver jag inte bygga på resonemanget?

Javisst! Den kontrapositiva formen (som jag skrivit den) är logiskt ekvivalent med den direkta formen (så som jag skrivit den).

Du verkar insistera på att bevisa enkla påståenden på ett invecklat sätt, vilket är anledningen till att jag formulerade din uppgift på ett strikt logiskt sätt ovan. När man arbetar med matematik använder man vanligtvis ord också och förlitar sig inte enbart på strikt logisk notation. Logiken finns alltid i bakgrunden men matematiker kan uttrycka sig strikt logiskt utan att behöva skriva ut varenda liten detalj, så som jag gjort i mitt inlägg ovan.

Som sagt, du verkar vilja ha det på det sättet så då försöker jag att tillmötesgå dig.

Albiki skrev:
Nichrome skrev:
Albiki skrev:
Hej,
Den första raden är inte helt korrekt skriven. Jag förslår att du istället skriver följande.
$\displaystyle\forall n \in \mathbb{N}_+\, \exists k \in\mathbb{N}_+\, \left(n=k^2 \implies \nexists m\in\mathbb{N}_+\, (n+1 = m^2)\right).$
För ett indirekt bevis av implikationen använder du den kontrapositiva formen av det logiska uttrycket. Du kan skriva följande.
$\forall n\in\mathbb{N}_+\,\exists k\in\mathbb{N}_+\,\left( \exists m\in\mathbb{N}_+ (n+1=m^2) \implies n\neq k^2\right)$
Oj, jag hade inte tänkt på att använda mängder. Räknas den kontrapositiva formen som bevis? Behöver jag inte bygga på resonemanget?
Javisst! Den kontrapositiva formen (som jag skrivit den) är logiskt ekvivalent med den direkta formen (så som jag skrivit den).
Du verkar insistera på att bevisa enkla påståenden på ett invecklat sätt, vilket är anledningen till att jag formulerade din uppgift på ett strikt logiskt sätt ovan. När man arbetar med matematik använder man vanligtvis ord också och förlitar sig inte enbart på strikt logisk notation. Logiken finns alltid i bakgrunden men matematiker kan uttrycka sig strikt logiskt utan att behöva skriva ut varenda liten detalj, så som jag gjort i mitt inlägg ovan.
Som sagt, du verkar vilja ha det på det sättet så då försöker jag att tillmötesgå dig.

Jag vet inte riktig vad alla beteckningar du har använt i den kontrapositiva formen innebär. Jag ville inte göra det så här komplicerat, men jag vill gärna bevisa implikationen stegvis med hjälp av indirekt bevis. Min lärare vill att jag ska skriva det på ett "invecklat sätt", med hjälp av vissa ord och logiska beteckningar.

Om n är ett kvadrattal, så kan n skrivas som k²där k är ett positivt heltal.

Anta att n+1 är ett kvadrattal. I så fall kan n+1 skrivas som l²där l är ett positivt heltal. Då är l²-k²=(n+1)-n=1. Det existerar inte några kvadrat-tal som ligger så tätt (*). Alltså var antagandet att n+1 är ett kvadrattal felaktigt.

(*) Detta måste förmodligen bevisas mer utförligt.

Smaragdalena skrev:
Det existerar inte några kvadrat-tal som ligger så tätt (*). Alltså var antagandet att n+1 är ett kvadrattal felaktigt.
(*) Detta måste förmodligen bevisas mer utförligt.

Är det ett starkt resonemang? Att det existerar inte några kvadrattal som ligger så tätt. Hur kan jag bevisa det mer utförligt?

T.ex genom att skriva några kvadrattal i ordning?

Låt k vara ett heltal större än 0. Kvadraten på detta är k². Om man kvadrerar k+1 så blir det k²+2k+1, d v s (k+1)²-k² = 2k+1 > 1.

Smaragdalena skrev:
Om n är ett kvadrattal, så kan n skrivas som k²där k är ett positivt heltal.
Anta att n+1 är ett kvadrattal. I så fall kan n+1 skrivas som l²där l är ett positivt heltal. Då är l²-k²=(n+1)-n=1. Det existerar inte några kvadrat-tal som ligger så tätt (*). Alltså var antagandet att n+1 är ett kvadrattal felaktigt.
(*) Detta måste förmodligen bevisas mer utförligt.

jag tänkte fråga om detta är ett indirekt bevis?

Nichrome skrev:
Smaragdalena skrev:
Om n är ett kvadrattal, så kan n skrivas som k²där k är ett positivt heltal.
Anta att n+1 är ett kvadrattal. I så fall kan n+1 skrivas som l²där l är ett positivt heltal. Då är l²-k²=(n+1)-n=1. Det existerar inte några kvadrat-tal som ligger så tätt (*). Alltså var antagandet att n+1 är ett kvadrattal felaktigt.
(*) Detta måste förmodligen bevisas mer utförligt.
jag tänkte fråga om detta är ett indirekt bevis?

Nej. Varför skulle man krångla till det med ett indirekt bevis om det inte behövs? Det står inget i själva frågan om att man skall använda någon särskild bevismetod, bara i din rubrik, och det är väldigt ofta folk sätter helkonstiga rubriker.

Smaragdalena skrev:
Nichrome skrev:
Smaragdalena skrev:
Om n är ett kvadrattal, så kan n skrivas som k²där k är ett positivt heltal.
Anta att n+1 är ett kvadrattal. I så fall kan n+1 skrivas som l²där l är ett positivt heltal. Då är l²-k²=(n+1)-n=1. Det existerar inte några kvadrat-tal som ligger så tätt (*). Alltså var antagandet att n+1 är ett kvadrattal felaktigt.
(*) Detta måste förmodligen bevisas mer utförligt.
jag tänkte fråga om detta är ett indirekt bevis?
Nej. Varför skulle man krångla till det med ett indirekt bevis om det inte behövs? Det står inget i själva frågan om att man skall använda någon särskild bevismetod, bara i din rubrik, och det är väldigt ofta folk sätter helkonstiga rubriker.

Hur skulle man kunna bevisa detta med ett indirekt bevis?

Varför skulle man vilja använda ett indirekt bevis om det inte behövs?

Smaragdalena skrev:
Varför skulle man vilja använda ett indirekt bevis om det inte behövs?

jag vill lära mig det :)

Lär dig istället att göra saker på det enklaste sättet och inte krångla till det i onödan. Det kommer du att ha mycket mer nytta av.

Svara

Visa senaste svar