Implikationspil, generaliserade konjugatregeln, rötter

Vad menar du med första frågan?

Det är nog bara att försöka minnas den, alternativt lära dig härleda den.

Ja, graden anger hur många nollställen polynomet har maximalt (de kan vara komplexa). Ibland så uppträder samma rot flera gånger, och då ligger flera nollställen på samma ställe.

Med fråga ett, menar du att om

√x = y, så är x = y^2?

Om ja, så är svaret att ja, om den första ekvationen gäller, så medför det att den andra gäller. Det kan dock vara så att den andra ekvationen gäller även när den första inte gör det, t.ex. om y är ett negativt tal.

Fråga två: Det finns en sats som säger att a^n - b^n = (a - b)(a^(n-1) + a^(n-2)*b + a^(n-3)*b^2 + ... + a*b^(n-2) + b^(n-1)).

Uttrycket i den andra parentesen i HL är alltså t.ex. a^2 + ab + b^2 för n = 3, och a^3 + a^2 b + ab^2 + b^3 för n = 4.

Fråga tre: Om ett polynom p(x) är av grad n>0 och har komplexa koefficienter så har p(x) exakt n stycken komplexa rötter, räknat med multiplicitet. Detta faktum brukar kallas algebrans fundamentalsats (fundamental theorem of algebra). Notera dock att satsen inte garanterar existensen av några reella rötter. Polynomet x^2 + 1 har exempelvis inga reella rötter, men två komplexa rötter i och -i.

Notera också att eftersom de reella talen ingår i de komplexa talen, så innebär satsen att om p(x) har reella koefficienter, så har p(x) också n komplexa rötter.

Om ett polynom av grad n har k reella rötter för något k<n så innebär det alltså att de resterande n-k rötterna är komplexa.

Tack för era svar!

Lägger in en bild på vad jag menar med fråga 1. 

"Uttrycket i den andra parentesen i HL är alltså t.ex. a^2 + ab + b^2 för n = 3, och a^3 + a^2 b + ab^2 + b^3 för n = 4." 

Tänker på detta du skrev. Men (a-b) som är i första parantesen måste alltid vara med? Och det blir inte dubbelt eller något av första parantesen? Och hur blir det om det är a⁴+b⁴? Ät det varannan minus och plus då i andra parantesen? 

Johanna93 skrev:

Tack för era svar!

Lägger in en bild på vad jag menar med fråga 1. 

Ja, det kan generellt finnas fler lösningar på en ekvation på formen $y=x^2$ än vad det finns för $\sqrt{y}=x$. Därför har vi inte en implikation $\Leftarrow$, alltså inte en ekvivalens. Vi behöver något från sammanhanget, som t.ex. att det är givet att $x$ är icke-negativt, för att vi ska ha en ekvivalens.

Man kan visa att

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2+\dots +a{b}^{n-2}+b^{n-1})$.

Det betyder bland annat att $a^n-b^n$ alltid är delbart med $a-b$, för alla $n\ge 1$.

Det finns en formel för hur man kan faktorisera $a^n+b^n$, men den blir lite krångligare om man vill betrakta alla heltal $n\ge 1$. För udda $n$ gäller dock att
$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2-...-a{b}^{n-2}+b^{n-1})$.

För $n=4$ finns det inte någon faktorisering av $a^n+b^n$, åtminstone inte om man vill undvika komplexa koefficienter. Däremot för $n=6$ kan man exempelvis faktorisera som $(a^2+b^2)(a^4-a^2{b}^2+b^4)$.

Jag tror för övrigt de enda värdena på $n$ för vilka vi inte kan faktorisera $a^n+b^n$ är om $n=2^k$ för något $k\ge 0$. Inte helt säker dock.