Implikationer och utsagor (för derivator)

e säger lite mer: den säger att alla eventuella lokala minima i intervallet är större än eller lika med g(1).

Vad får du för svar på resten?

Laguna skrev:

e säger lite mer: den säger att alla eventuella lokala minima i intervallet är större än eller lika med g(1).

 Vad menar du exakt? Om ett lokalt minima 'a' är STÖRRE än g(1) i intervallet 0 < x < 2 så kan väl inte 'a' möjligen vara ett minima...? g(1) är minst. Vad är det jag har missuppfattat här?

Laguna skrev:

Vad får du för svar på resten?

 a) Att funktionen g har ett lokalt minimum i x=1 implicerar att g är definierad och kontinuerlig i det slutna intervallet [0,2] och att g(0) = g(2) (enligt Rolles sats).

b) Det ovan i svar 'a' + att (1, g(1)) är en extrempunkt.

d) (1, g(1)) är en minimipunkt.

e) g(1) är ett lokalt minimum i öppna intervallet (0,2).

(alla dessa svar är mina egna tolkningar. Har inte något facit för denna uppgift).

De vill att du relaterar de olika påståendena. T.ex. a implicerar d, eller b är ekvivalent med c. Allt sådant som går att säga. (Nu skrev jag bara blint, jag vet inte om det är precis så.)

Nide skrev:

Laguna skrev:

e säger lite mer: den säger att alla eventuella lokala minima i intervallet är större än eller lika med g(1).

 Vad menar du exakt? Om ett lokalt minima 'a' är STÖRRE än g(1) i intervallet 0 < x < 2 så kan väl inte 'a' möjligen vara ett minima...? g(1) är minst. Vad är det jag har missuppfattat här?

Funktionen kan väl ha flera minima i intervallet? Det står ingenstans att det bara finns ett minimum.

Hej!

• Det gäller att $A \implies B$ men omvändningen $B \implies A$ är inte sann, vilket funktionen $g(x) = -(x-1)^2$ visar. 
• Det gäller att $A \iff C$ enligt definition av lokalt minimum.
• Det gäller att $A \iff D$ eftersom andraderivatan $g^{''}$ existerar.
• Det är trivialt att $E \implies C$ men omvändningen $C \implies E$ är inte sann, vilket funktionen $g(x) = \cos(4(x-1))$ visar. 
• Det är trivialt att $D \implies B$ är sann men omvändningen $B \implies D$ är inte sann, vilket den konstanta funktionen $g(x)=1$ visar.
• Det gäller att $C \implies D$ eftersom andraderivatan existerar. 

Påstående C (inte deluppgift C) säger att i en omgivning till $x=1$ så är $g(1)$ det minsta funktionsvärdet; om du går utanför intervallet $(1-\delta,1+\delta)$ så kan det mycket väl finnas funktionsvärden som är mindre än $g(1)$. Det är detta som ordet "lokalt" i uttrycket lokalt minimum betyder.

Albiki skrev:

Påstående C (inte deluppgift C) säger att i en omgivning till $x=1$ så är $g(1)$ det minsta funktionsvärdet; om du går utanför intervallet $(1-\delta,1+\delta)$ så kan det mycket väl finnas funktionsvärden som är mindre än $g(1)$. Det är detta som ordet "lokalt" i uttrycket lokalt minimum betyder.

 Tack för svaren Albiki! :)

Det verkar ju som att jag missuppfattat uppgiften totalt haha.