implikation

Hur vet du att det första påståendet stämmer?

JohanF skrev:

Hur vet du att det första påståendet stämmer?

Om man ritar ner det på en linje så ser man att 2 är större än X samtidigt att 3 är större än X. Men på den andra gäller det också att X är mindre än 2 och X är mindre än 3. Jag tycker att båda stämmer men inte enligt facit. 

Om x är 2,5 då?

Laguna skrev:

Om x är 2,5 då?

Eller om x är 3?

Jag tror jag har fattat. Alltså på alternativ 1 "x≤3⇒x≤2" om X är mindre eller lika med 3 och 2 och vi har 2.5 så är det ändå mindre än tre. Men på alternativ 2 "x≤2 ⇒x≤3" om X är mindre eller lika med 2 kan det inte vara lika med 3. Har jag uppfattat det rätt? 

Alltså på den falska alternativen, om X är x≤2 kan det inte vara lika eller mindre än 3. 

birdbox21 skrev:

Jag tror jag har fattat. Alltså på alternativ 1 "x≤3⇒x≤2" om X är mindre eller lika med 3 och 2 och vi har 2.5 så är det ändå mindre än tre. Men på alternativ 2 "x≤2 ⇒x≤3" om X är mindre eller lika med 2 kan det inte vara lika med 3. Har jag uppfattat det rätt? 

Alltså på den falska alternativen, om X är x≤2 kan det inte vara lika eller mindre än 3. 

Jag förstår tyvärr inte det där.

Laguna skrev:

birdbox21 skrev:

Jag tror jag har fattat. Alltså på alternativ 1 "x≤3⇒x≤2" om X är mindre eller lika med 3 och 2 och vi har 2.5 så är det ändå mindre än tre. Men på alternativ 2 "x≤2 ⇒x≤3" om X är mindre eller lika med 2 kan det inte vara lika med 3. Har jag uppfattat det rätt? 

Alltså på den falska alternativen, om X är x≤2 kan det inte vara lika eller mindre än 3. 

Jag förstår tyvärr inte det där.

Förlåt jag var otydligt. Jag menar att x≤3⇒x≤2 är sant däremot den andra alternativen, x≤2 ⇒x≤3, är icke sant eftersom att x≤3

får inte vara större än två för att X är lika med eller mindre än två. Går det att fatta nu? :D Om det inte går att fatta så kan jag säga att jag har fattat det i mina hjärna, tack! :D 

Nja, det är ju tvärtom. Tänkte du på x = 2,5 som jag föreslog?

Den första implikationen lyder "Om x är mindre än eller lika med 3 så är x mindre än eller lika med 2". Den stämmer inte för alla x eftersom den till exempel inte stämmer för x = 2,5.

2,5 är ju mindre än eller lika med 3 men inte mindre än eller lika med 2.

Laguna skrev:

Nja, det är ju tvärtom. Tänkte du på x = 2,5 som jag föreslog?

Ja exakt, fast jag tror jag har blandat ihop talen nu. Så det jag har skrivit är korrekt fast tvärtom? Alltså x≤2 ⇒x≤3 stämmer.

Yngve skrev:

Den första implikationen lyder "Om x är mindre än eller lika med 3 så är x mindre än eller lika med 2". Den stämmer inte för alla x eftersom den till exempel inte stämmer för x = 2,5.

2,5 är ju mindre än eller lika med 3 men inte mindre än eller lika med 2.

Jaha, jag tror jag fattar på riktigt nu. Om vi tar ett tallinje som tex, så "x är mindre eller lika med 3 är mindre eller lika med 2" så tänker man på tal som kommer innan 2 eftersom den ska vara mindre eller lika med 2. Men på den andra så tänker man på tal som kommer mellan 2 och 3. 

Det är viktigt att läsa den här uppgiften. Att använda siffror kan bli förödande om vi bestämmer att x = 2,5
så får vi i fall 1 att  $2,5\le 3 \Rightarrow 2,5\le 2$vilket säger att V.L. är rätt och H.L. är fel om vi inte läser "pilen" som betyder "medför att"
och fall 2  $2,5\le 2\Rightarrow 2,5\le 3$vilket säger att V.L. fel och H.L är rätt om vi inte läser "pilen" som betyder "medför att"

Om vi läser uppgiften så får vi förutsättningen i V.L. 
I fall 1 står det "om $x$är mindre eller lika med tre" dvs. $x$kan som störst vara tre.
I fall 2 står det "om $x$är mindre eller lika med två" dvs $x$kan som störst vara två.

Vi har alltså två olika värden på x, därför kan vi inte sätta in x = 2,5 då blir det rappakalja av alltihop.
Utan vi måste undersöka de två fallen med olika värden på x.

Fortsätter vi med fall 1 så står det då först "om x är mindre eller lika med tre" och sedan "så medför det att x är mindre eller lika med två"
Det medför det ju inte alls.

Tar vi fortsättningen i fall 2 så står det först "om x är mindre eller lika med två" och sedan "så medför det att x är mindre eller lika med tre"
Ja det låter ju vettigt eller hur?

Jag är inte riktigt med på dina tankebanor här Conny.

En implikation $A\Rightarrow B$ består av två påståenden $A$ och $B$ samt en relation $\Rightarrow$ mellan dessa påståenden.

Såväl påstående $A$ som påstående $B$ kan vara sant eller falskt, det är inget problem i sammanhanget.

Om vi väljer $x=2,5$ så kommer påståendet $x\leq3$ att vara sant och påståendet $x\leq2$ att vara falskt, oavsett om det finns någon $\Rightarrow$ på plats eller inte och oavsett hur vi tolkar den.

Valet av $x=2,5$ ger oss ett utmärkt motexempel till implikationen $x\leq3\Rightarrow x\leq2$, vilket visar att den implikationen är ogiltig/falsk.

Detta eftersom en implikation $A\Rightarrow B$ är ogiltig/falsk om $A$ är sann samtidigt som $B$ är falsk.

Däremot så ger valet av $x=2,5$ oss ingen ledtråd till huruvida den andra implikationen är giltig/sann eller inte.

birdbox21 skrev:

Ja exakt, fast jag tror jag har blandat ihop talen nu. Så det jag har skrivit är korrekt fast tvärtom? Alltså x≤2 ⇒x≤3 stämmer.

Ja det stämmer.

birdbox21 skrev:

Jaha, jag tror jag fattar på riktigt nu. Om vi tar ett tallinje som tex, så "x är mindre eller lika med 3 är mindre eller lika med 2" så tänker man på tal som kommer innan 2 eftersom den ska vara mindre eller lika med 2. Men på den andra så tänker man på tal som kommer mellan 2 och 3. 

En tallinje är ett utmärkt hjälpmedel för att lösa denna uppgift.

Påståendet $x\leq3$ är sant för alla tal på eller till vänster om 3 på tallinjen, det gröna området i bilden.

Påståendet $x\leq2$ är sant för alla tal på eller till vänster om 2 på tallinjen, det rosa området i bilden.

Första imolikationen säger att om ett tal x finns i det gröna området så finns det även i det rosa området. Det stämmer inte eftersom det finns tal som är större än 2 men mindre än eller lika med 3.

Andra implikationen säger att om ett tal x finns i det rosa området så finns det även i det gröna området. Det stämmer.

========

Men jag är osäker på vad du menar när du skriver "x är mindre eller lika med 3 är mindre eller lika med 2" och vad du menar med "den andra"?

Kan du försöka förklara, gärna med bild?

En helt annan situation som fungerar på samma sätt är:

x bor i Stockholm => x bor i Sverige

x bor i Sverige => x bor i Stockholm

Vilken av dem är sann?

Man kan också kolla på sanningstabellen av implikation, dock är det kanske inte det mest pedagogiska för just denna situationen.

$\begin{array}{ccc}p& q& p\Rightarrow q\\ s& s& s\\ s& f& f\\ f& s& s\\ f& f& s\end{array}$

Yngve skrev:

Jag är inte riktigt med på dina tankebanor här Conny.

En implikation $A\Rightarrow B$ består av två påståenden $A$ och $B$ samt en relation $\Rightarrow$ mellan dessa påståenden.

Såväl påstående $A$ som påstående $B$ kan vara sant eller falskt, det är inget problem i sammanhanget.

Om vi väljer $x=2,5$ så kommer påståendet $x\leq3$ att vara sant och påståendet $x\leq2$ att vara falskt, oavsett om det finns någon $\Rightarrow$ på plats eller inte och oavsett hur vi tolkar den.

Valet av $x=2,5$ ger oss ett utmärkt motexempel till implikationen $x\leq3\Rightarrow x\leq2$, vilket visar att den implikationen är ogiltig/falsk.

Detta eftersom en implikation $A\Rightarrow B$ är ogiltig/falsk om $A$ är sann samtidigt som $B$ är falsk.

Däremot så ger valet av $x=2,5$ oss ingen ledtråd till huruvida den andra implikationen är giltig/sann eller inte.

Nja. Jag förstår att det kan vara svårt. Det som för oss är självklart att tolka precis som du gjort var uppenbarligen inte självklart för eleven. 
Vad som ledde in mig på denna tankegång var att jag försökte förstå elevens resonemang. Om man bara ser till siffrorna och inte hela betydelsen så kan man faktiskt förstå elevens första funderingar, vilket jag inte alls gjorde först, men då finns det faktiskt lite logik i det som hen skriver även om det leder fel.
Mitt viktigaste bidrag i tråden tycker jag var att lyfta fram skillnaden i att försöka förstå vad som stod först tillsammans med implikationen, innan man ser på högerledet.
När man då ser att x i vänsterledet faktiskt har två olika utgångsvärden, då först kan man förstå sammanhanget.
Sen kan jag väl medge själv att det var svårt att sätta ord på mina tankar, men läs gärna elevens inlägg en gång till och tänk tanken att du använder ett bestämt tal för x i bägge fallen. Då kan man kanske förstå elevens tankegång.

Om mitt bidrag har något att tillföra är inte jag människa att bedöma, men jag tar gärna emot kommentarer och kritik. Mitt mål är att bli bättre på att svara.

Edit: Ditt senare inlägg Yngve är kanonbra och jag önskar att det var jag som gjort bilden!😊

Yngve skrev:

birdbox21 skrev:

Jaha, jag tror jag fattar på riktigt nu. Om vi tar ett tallinje som tex, så "x är mindre eller lika med 3 är mindre eller lika med 2" så tänker man på tal som kommer innan 2 eftersom den ska vara mindre eller lika med 2. Men på den andra så tänker man på tal som kommer mellan 2 och 3. 

En tallinje är ett utmärkt hjälpmedel för att lösa denna uppgift.

Påståendet $x\leq3$ är sant för alla tal på eller till vänster om 3 på tallinjen, det gröna området i bilden.

Påståendet $x\leq2$ är sant för alla tal på eller till vänster om 2 på tallinjen, det rosa området i bilden.

Första imolikationen säger att om ett tal x finns i det gröna området så finns det även i det rosa området. Det stämmer inte eftersom det finns tal som är större än 2 men mindre än eller lika med 3.

Andra implikationen säger att om ett tal x finns i det rosa området så finns det även i det gröna området. Det stämmer.

========

Men jag är osäker på vad du menar när du skriver "x är mindre eller lika med 3 är mindre eller lika med 2" och vad du menar med "den andra"?

Kan du försöka förklara, gärna med bild?

Hej, jag försökte förklara det du ritade i bilden. Jag försökte använda ord istället för$\ge \le$tecken, sorry. Tack för hjälpen, den är mycket mer tydligare nu! :D

Laguna skrev:

En helt annan situation som fungerar på samma sätt är:

x bor i Stockholm => x bor i Sverige

x bor i Sverige => x bor i Stockholm

Vilken av dem är sann?

Den första är sant eftersom Stockholm ligger i Sverige. Andra alternativen är fel eftersom det kan stå vad som på HL.  

birdbox21 skrev:

Laguna skrev:

En helt annan situation som fungerar på samma sätt är:

x bor i Stockholm => x bor i Sverige

x bor i Sverige => x bor i Stockholm

Vilken av dem är sann?

Den första är sant eftersom Stockholm ligger i Sverige. Andra alternativen är fel eftersom det kan stå vad som på HL.  

Bra!