Implicita funktionssatsen, har jag räknat rätt? (flervariabelanalys)

Någon som kan bestyrka att det jag gjort stämmer eller är fel? Jag har inget att jämföra med bara ett svar i facit (vilket jag kan fått falskt positivt på)

Hej,

Du har funktionen $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ given av

    $f(x,y) = \sin xy - \ln (x+y)$

och punkten $(0,1)\in \mathbb{R}^2$ som ligger på kurvan $f(x,y) = 0$, eftersom $\sin (0\cdot 1)-\ln(0+1) = 0$.

Hela kurvan $f(x,y)=0$ utgör inte nödvändigtvis grafen till en funktion $y(x)$ men kanske en del av kurvan gör det, mer specifikt en del av kurvan som innehåller punkten $(0,1)$? För att detta ska vara möjligt måste partiella derivatan $\frac{\partial f}{\partial y}$ beräknad i punkten $(0,1)$ vara ett tal som ej är noll.

    $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = x\cos xy - \frac{1}{x+y}$

ger talet $0 \cos (0 \cdot 1) - \frac{1}{0+1} = -1.$

Enligt Implicita funktionssatsen finns det då en funktion $y : D_y \to \mathbb{R}$ för vilken $y(0)=1$ och vars graf sammanfaller med kurvan $f(x,y)=0$; här betecknar $D_y$ definitionsmängden -- en öppen mängd som innehåller punkten $x=0$ -- till funktionen $y$.

Denna funktion $y$ är kontinuerligt deriverbar på sin definitionsmängd och dess derivata $y^\prime$ ges av ekvationen

    $\displaystyle 0 = y^\prime(x) \cdot \{y(x) \cos(x\cdot y(x)) - \frac{1}{x+y(x)}\}.$

Albiki skrev:

Hej,

 

Denna funktion $y$ är kontinuerligt deriverbar på sin definitionsmängd och dess derivata $y^\prime$ ges av ekvationen

    $\displaystyle 0 = y^\prime(x) \cdot \{y(x) \cos(x\cdot y(x)) - \frac{1}{x+y(x)}\}.$

Tja, Tack för svar och ursäkta sent svar. Undrar hur du fått den sista ekvationen? Jag måste ha gjort fel då eller har du bara skrivit det annorlunda? Jag tror att vi får samma svar men jag tänkte att när jag deriverar den sista Y'x (x, y(x)) så har ju båda funktionerna inre derivator som ska deriveras också väl? Dvs xy(x) i sinxy och ln(x+y)? Eller tänker jag fel här?

Hej,

Nu när jag tittar på det ser jag att deriveringen av logaritfunktionen blev fel. Dess derivata med avseende på $x$ ska istället vara $\frac{1+y^\prime(x)}{x+y(x)}$ och då går det inte längre att bryta ut $y^\prime(x)$ som jag gjorde ovan; den där 1:an i täljaren ställer till det!