Implicita funkionssatsen, omgivning av punkt (flervariabelanalys)

Jag vet inte riktigt hur du har kommit fram till ditt sista uttryck men tror det kan ha blivit lite fel. Jag antar att du tänker dig att du tar derivatan

$\frac{d}{dx} (\sin(2xy(x)) - \ln(x+2y(x)))$

och då blir ju den inre derivatan i $\sin$ en produktregel och inte bara $2y'(x)$.

Men poängen med implicita funktionssatsen är väl att vi vill undvika just denna beräkning och istället utnyttjar att

$y'(x)=\frac{dy}{dx}=-\frac{\partial F / dx}{\partial F / dy}$

där $F$ är VL i i ekvationen som definierar kurvan.

TobbeR skrev:

Jag vet inte riktigt hur du har kommit fram till ditt sista uttryck men tror det kan ha blivit lite fel. Jag antar att du tänker dig att du tar derivatan

$\frac{d}{dx} (\sin(2xy(x)) - \ln(x+2y(x)))$

och då blir ju den inre derivatan i $\sin$ en produktregel och inte bara $2y'(x)$.

Men poängen med implicita funktionssatsen är väl att vi vill undvika just denna beräkning och istället utnyttjar att

$y'(x)=\frac{dy}{dx}=-\frac{\partial F / dx}{\partial F / dy}$

där $F$ är VL i i ekvationen som definierar kurvan.

Ok så  $\cos \left(2xy\right(x\left)\right)\hspace{0.17em}*\hspace{0.17em}2(xy\text{'}(x)+y(x\left)\right) - \frac{2y\text{'}\left(x\right)}{(x+2y(x\left)\right)}=0 ?$ Hur går jag vidare härifrån? Kan inte se hur jag isolerar y'(x) till VL på något sätt

Om du multiplicerar in faktorn $(xy'(x) + y(x))$ så kommer vi ju ha tre termer! Två av dessa har den gemensamma faktorn $y'(x)$. Bryt ut den och se om du kommer vidare efter det

TobbeR skrev:

Om du multiplicerar in faktorn $(xy'(x) + y(x))$ så kommer vi ju ha tre termer! Två av dessa har den gemensamma faktorn $y'(x)$. Bryt ut den och se om du kommer vidare efter det

Inte riktigt med på vad du menar. Vi har ju redan tre termer där två har den gemensamma faktorn y'(x)? Gör jag som du säger blir det inte lättare vad jag tror:

$\cos \left(2xy\right(x\left)\right)\hspace{0.17em}*\hspace{0.17em}2(xy\text{'}(x)+y{\left(x\right))}^2-\frac{2y\text{'}\left(x\right)(xy\text{'}(x)+y(x\left)\right)}{x+2y\left(x\right)}$=0

Hur blir detta enklare att lösa?

Hmm ja nu hänger jag inte riktigt med på vad du gjorde! Jag menade så här

$\cos(2xy)2(xy'+y)-\frac{2y'}{x+2y} = \cos(2xy)2xy'+\cos(2xy)2y-\frac{2y'}{x+2y} = y'(2x\cos(2xy) + \frac{2}{x+2y})-2\cos(2xy)y$

Vet inte var din kvadrat kommer ifrån riktigt.

Dessutom är det ett räknefel i den andra termen, vi har att

$\frac{d}{dx} \ln(x+2y)=\frac{1+2y'}{x+2y}$

TobbeR skrev:

Hmm ja nu hänger jag inte riktigt med på vad du gjorde! Jag menade så här

$\cos(2xy)2(xy'+y)-\frac{2y'}{x+2y} = \cos(2xy)2xy'+\cos(2xy)2y-\frac{2y'}{x+2y} = y'(2x\cos(2xy) + \frac{2}{x+2y})-2\cos(2xy)y$

Vet inte var din kvadrat kommer ifrån riktigt.

Förlåt men jag fattar inte vad du gör. Jag kom på ett annat sätt att lösa det på, genom att sätta in punkterna som är givna i den framtagna deriverade funktionen. Vi har ju 3 obekanta; x,y(x) och y'(x) där vi vill lösa ut y'(x). P(0,1/2) Ger oss --> $\cos (2*0*\frac{1}{2}) * 2(0*y\text{'}(x)+\frac{1}{2})- \frac{1+2y\text{'}\left(x\right)}{(0+2*{\displaystyle \frac{1}{2}})} ===>$$1-1+2y\text{'}\left(x\right)=0 -->y\text{'}\left(x\right)=0$

Det borde absolut funka  att göra så!

Skulle dock se till att ändå försöka förstå hur du kan bryta ut $y'$ utan att först sätta in värden. Förstår att det kan vara svårt att följa min uträkning men kan vara värt att försöka komma fram till det själv. Du kommer antagligen stöta på många liknande problem där du behöver bryta ut liknande faktorer framöver.

För att förstå hur jag gjorde kan vi titta på ett liknande men lättare exemepl

$\cos{(x)} (y'(x) + y) - y'(x)$

Förstår du hur du gör för att bryta ut $y'(x)$ i detta exempel?