Implicit funktion

Jag ställer upp jacobianen och löser ut determinanten men har egentligen ingen förståelse vad det är jag gör, jag följer mer eller mindre algoritmen utantill. Tydligen är det någon transformation från R² till R³. Bör jag veta något mer?

När det kommer till "Near what points . . ." så förstår jag inte riktigt. Att en funktion är one-to-one betyder det väl att om vi drar en linje parallell med y-axeln så skär denna linje funktionen endast en gång. Kan vi då tänka att vi har en funktion $y \left( \phi \right)=R^2 sin \phi$ och är inte $y$ one-to-one överallt då? Facit säger annat

Vad gäller inverterbarhet så antar jag att de frågar om själva jacobianmatrisen. Matriser generellt är inverterbara så länge determinanten inte är lika med noll om jag inte minns fel.