Implicit derivering

låt x+y+z-z⁴=0 vara en nivåkurva till R(x,y,z)=x+y+z-z⁴ . R'_z=1-4z³ och R'_z(0,0,1)=1-4=-3. Eftersom -3 inte är 0 så kan z=f(x,y) runt 0,0,1

introducera nu z(x,y) 

x+y+z-z⁴=0

x+y+z(x,y)-z(x,y)⁴=0 

och derivera implict med avseende på x

$$\begin{gathered} \frac{d(x+y+z-z^4)}{dx}=\frac{d\left(0\right)}{dx} \\ \frac{dx}{dx}+\frac{dy}{dx}+\frac{dz}{dx}-\frac{d\left(z^4\right)}{dx}=0 \\ 1+0+\frac{dz}{dx}-(\frac{d\left(z^4\right)}{dz}*\frac{dz}{dx})=0 \\ 1+\frac{dz}{dx}-4z^3*\frac{dz}{dx}=0 \\ \frac{dz}{dx}(1-4z^3)=-1 \\ \frac{dz}{dx}=\frac{1}{4z^3-1} \end{gathered}$$

Hela poängen är att dz/dx inte blir 0 eftersom vi har etablerat att z=f(x,y). Vi vet att z=1 i punkten (0,0) och därmed

$\frac{dz}{dx}=\frac{1}{4z^3-1}=\frac{1}{4-1}=\frac{1}{3}$

Okej! Så min lösning var korrekt?

sen angående tangenten fick jag x+y-4z. Kan det stämma? 

Tangentplanet i punkten $(a,b, f(a,b))$ ges av:

$\dfrac{∂f}{∂x}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+\dfrac{∂f}{∂y}\left(a,b\right)\left(y-b\right)-z+f\left(a,b\right)=0$

I punkten (0,0,1) blir det:

$\dfrac{∂f}{∂x}\left(0,0\right)\left(x-0\right)+\dfrac{∂f}{∂y}\left(0,0\right)\left(y-0\right)-z+f\left(0,0\right)=0$

Vi får:

$\dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}y -z +1 = 0$