Implicit derivering
Jag kollade på en video av Jonas Månsson och fattar "typ" men en sak förstår jag inte:
Han förklarar hur man deriverar båda sidor - och på höger sida ska man ta med även r'(t) som man inte känner till. MEN varför måste man inte göra samma även på vänster sida?
(detta har varit en återkommande fråga för mig jag aldrig fattat - samma problem i andra uppgifter med x och y och varför/varför inte/när/när inte alla ska stå som y*y' och x*x' och när någon ska stå som bara x' eller y'? - förvirrad!)
Det är helt enkelt kedjeregeln.
Derivatan av (r(t))^3 är 3*(r(t))^2*r'(t), där r'(t) är den "inre derivatan".
På vänstersidan är inte V(t) en sammansatt funktion så där blir det bara V'(t).
Men OM man skulle implicit derivera ett samband med sammansatta funktioner på bägge sidor, till exempel
sin(f(t)) = (g(t))^2 så skulle resultatet bli
cos(f(t))*f'(t) = 2*g(t)*g'(t), dvs med inre derivatan på båda sidor.
Yngve skrev :Det är helt enkelt kedjeregeln.
Derivatan av (r(t))^3 är 3*(r(t))^2*r'(t), där r'(t) är den "inre derivatan".
1) Så i fallet med V(t) är inre derivatan 1?
2) Om man istället har x^2 + y^2 = 1 och ska derivera detta för att söka lutningen till tangenten för tangenten till kurvan i punkten (1/2, (roten ur 3)/2) -- boken säger "vi vet att y enligt x^2 + y^2 = 1 definierar y som en funktion av x i vår punkt och skriver y(x) istället för y
och får då
x^2 + y(x)^2 = 1
som man deriverar till
2x+2y(x)*y'(x)=0"
Vad gör de här?
Varför skriver de en som funktion av den andra? Varför är här bara y på formen y*y' och x står bara som x'?
1) Läs mitt tillägg i första svaret. V är inte en sammansatt funktion.
2) För att de väljer x som oberoende variabel och deriverar med avseende på x Då är inre derivatan av x^2 lika med derivatan av x med avseende på x, vilket är 1. De skulle istället kunnat paranetrisera med till exempel t som oberoende variabel enligt x = x(t) och y = y(t) och då hade den implicita deriveringen (med avseende på t) istället givit resultatet
2*x(t)*x'(t) + 2*y(t)*y'(t) = 0
Yngve skrev :Det är helt enkelt kedjeregeln.
Derivatan av (r(t))^3 är 3*(r(t))^2*r'(t), där r'(t) är den "inre derivatan".
På vänstersidan är inte V(t) en sammansatt funktion så där blir det bara V'(t).
Men OM man skulle implicit derivera ett samband med sammansatta funktioner på bägge sidor, till exempel
sin(f(t)) = (g(t))^2 så skulle resultatet bli
cos(f(t))*f'(t) = 2*g(t)*g'(t), dvs med inre derivatan på båda sidor.
Men varför har inte V(t)^1 en inre derivata V(t) likt r(t)^3 har r(t)?
nej alltså jag förstår verkligen inte hur man ska tänka
man känner inte till r(t) så måste ta med den men man känner ju inte till V(t) heller, eller?, så varför ska inte den vara med på formen (4pi/3)*r(t)^3?
Derivatan av V(t) med avseende på t är V'(t). Detta är inget konstigt alls och precis som du lärt dig i gymnasiet,
Om du vill så kan du precis som du skriver se V(t) som en sammansatt funktion och då använda kedjeregeln vid derivering.
Se då V(t) som den sammansatta funktionen (V(t))^1 precis som du skriver. Derivatan blir då med vanliga deriveringsregler 1*(V(t))^0*V'(t) = 1*1*V'(t) = V'(t).
Totala derivatan blir alltså yttre derivatan, som är 1, multiplicerat med den inre derivatan, som är V'(t).
