Implicit derivering

Boken säger:

"enhetscirkeln ges av x^2 + y^2 = 1, men är inte en graf y=f(x)

Den övre och nedre halvan däremot är grafer till två funktioner.

För att beräkna lutningen för tangenten till kurvan x^2+y^2=1 i punkten (1/2, (roten ur 3)/2) kan vi

1) beräkna derivaten, vilken anger lutningen för tangenten till den punkten, och stoppa in 1/2

2) alternativt använda x^2+y^2=1 och direkt derivera detta samband. Eftersom vi vet sambandet definierar y som en funktion av x vid vår punkt, skriver vi y(x) istället för y; vi får då

x^2 + y(x)^2 = 1

Derivering av båda vänster och högerled med avseende på x ger

2x + 2y(x)*y'(x) = 0

(om två uttryck är lika så är också deras derivator lika)

Stoppa sedan in punkten x."

1. jag förstår inte hur man menar här med "2)" alternativet - vad man beskriver i texten och varför man gör såhär

2. "om två uttryck är lika är också deras derivator lika" - vilka uttryck syftar man på? För derivatan av 0 är väl 0 (på andra sidan lika med tecknet)... äsch hel förvirrad...

Det är inte alltid man kan lösa ut y ur ett samband mellan x och y. Därför kan man behöva använda andra sätt att finna derivatan. Detta kan man göra genom att derivera ekvationens båda led med avseende på x. Då får man en ekvation ur vilken man kan lösa ut y'. Sedan är det bara att sätta in en känd punkt på kurvan.
De två uttrycken är vänsterledet x^2 + y(x)^2 och högerledet 1.

Vi tar första alternativet först.

Omskrivning ger att y(x)= $\sqrt{1 - x^{2}}$ . Observera att y(x) alltid är positiv! Vi har bara funktionen för den övre halvan att jobba med.

Skriver om så det blir lättare att derivera. y(x)= ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ vars derivata är $\frac{1}{2} * {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} * (- 2 x) = \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Om vi stället kollar på alternativ 2 så har de kommit fram till att 2x+2y(x)*y´(x)=0. Vi löser ut y´(x)= $\frac{- x}{y (x)}$

Sätt in y(x) som vi slöte ut redan i alt. 1: y´(x)= $\frac{- x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Vilket är samma resultat som första alternativet. Det är alltså en annan metodik att derivera på.

För att svara på dina frågor:

1. Man har deriverat vänsterled och högerled var för sig.

2. uttryck 1 är vänsterled, uttryck 2 är högerled. Och som du säger är derivatan av 0 noll. Men vänsterled är ju inte enbart y´(x)

Svara

Visa senaste svar